Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XX OM - I -Zadanie 8

Zawody matematyczne:

XX OM, 1968-1969

Etap:

I

Udowodnić twierdzenie:
Jeżeli

$<br /> (1) \; \sin x + \sin y + \sin z = 0 \quad \text{i} \quad (2)\; \cos x + \cos y + \cos z = 0, \text{ to}<br />$

$<br /> (2) \; \sin 2x + \sin 2y + \sin 2z = 0 \quad \text{i} \quad (2)\; \cos 2x + \cos 2y + \cos 2z = 0.<br />$

Rozwiązanie

Mnożymy równości (1) i (2) stronami; stosując znane wzory otrzymujemy:

$<br /> (5) \qquad \sin 2x+\sin 2y+\sin 2z+2\sin (x+y) + 2\sin(y+z) + 2\sin (z+x) = 0.<br />$

Podnosimy (1) i (2) stronami do kwadratu i odejmujemy:

$<br /> (6) \qquad \cos 2x+\cos 2y+\cos 2z+2\cos (x+y) + 2\cos (y+z) + 2\cos (z+x) = 0.<br />$

Mnożymy (1) i (2) odpowiednio przez $\cos x$ i $\sin x$ i odejmujemy:

$<br /> \sin(x-y) - \sin (z- x) = 0;<br />$

analogicznie otrzymujemy równości

$<br /> \sin (y-z)- \sin (x-y) = 0,\ \sin(z-x) - \sin (y-z) = 0.<br />$

Stąd

$<br /> (7) \qquad \sin(x-y) = \sin(y-z) = \sin(z-x).<br />$

Mnożymy (1) i (2) odpowiednio przez $\sin x$ i $\cos x$ i dodajemy:

$<br /> 1 + \cos(x-y) + \cos(z-x) = 0;<br />$

analogicznie

$<br /> 1 + \cos(y-z) + \cos(x-y) = 0,\ 1 + \cos(z-x) + \cos(y-z) = 0.<br />$

Rozwiązując układ tych trzech równań otrzymujemy

$<br /> (8) \qquad \cos (x-y) = \cos (y-z) = \cos (z-x).<br />$

Z (7) i (8) wynika, że $x-y = z-x+2k\pi$ , czyli $2x = y + z + 2k\pi$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.

Zatem

$<br /> (9) \qquad \sin(y+z) = \sin 2x,\ \cos(y+z) = \cos 2x,<br />$

a analogicznie

$<br /> (10) \qquad \sin(z+x) = \sin 2y,\ \cos(z+x) = \cos 2y<br />$

$<br /> (11) \qquad \sin(x+y) = \sin 2z,\ \cos(x+y) = \sin 2z.<br />$

Według (9) -(11) możemy we wzorach (5) i (6) zamiast $x+y$ , $y+z$ , $z + x$ napisać odpowiednio $2z$ , $2x$ , $2y$ . Uzyskujemy wzory (3) i (4).

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/1257