XX OM - I -Zadanie 9

Zawody matematyczne:

XX OM, 1968-1969

Etap:

Udowodnić, że dla każdej liczby całkowitej i dodatniej $n$

$ (1) \qquad \frac{1}{3}n^2 + \frac{1}{2} n + \frac{1}{6} \geq (n!)^{\frac{2}{n}} $

Rozwiązanie

Przekształćmy lewą stronę nierówności (1):

$ (2) \qquad \frac{1}{3} n^2 + \frac{1}{2} n + \frac{1}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n} $

Według znanego wzoru

$ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = 1^2+2^2+ \ldots + n^2. $

Z (2) i (3) wynika, że

$ (4) \qquad \frac{1}{3} n^2 + \frac{1}{2} n + \frac{1}{6} = \frac{1^2+2^2+ \ldots + n^2}{n} $

Wiemy, że średnia arytmetyczna $n$ liczb dodatnich jest nie mniejsza od średniej geometrycznej tych liczb; zatem

$ (5) \qquad \frac{1^2+2^2+ \ldots + n^2}{n} \geq ( 1^2 \cdot 2^2 \cdot \ldots \cdot n^2)^{\frac{1}{n}} = (n!)^{\frac{2}{n}}. $

Z (4) i (5) otrzymujemy

$ \frac{1}{3} n^2 + \frac{1}{2} n + \frac{1}{6} \geq (n!)^{\frac{2}{n}}, \textrm{ c.n.d.} $