XX OM - I -Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XX OM, 1968-1969

Etap:

Dowieść, że jeżeli $a_1, a_2, b_1, b_2$ są liczbami wymiernymi spełniającymi warunki

$ (1) a_1 \neq a_2, \; b_1 \neq b_2, \; (a_1b_2 - a_2b_1)^2 + 4(a_1-a_2)(b_1-b_2) = 0. $

to liczby

$ 1-a_1b_1, \quad 1-a_2b_2 $

są kwadratami liczb wymiernych.

Rozwiązanie

Niech $a_1-a_2 = k$ , $b_1- b_2 = l$ ; wtedy

$ a_1b_2 - a_2b_1 = (a_1-a_2)b_1 - (b_1-b_2)a_1 = kb_1-la_1 $

i warunki (1) przybierają postać

$ (2) \qquad k \ne 0,\ l \ne 0,\ (kb_1-la_1)^2 + 4kl = 0. $

Wynika z nich, że liczba wymierna $\frac{k}{l}$ spełnia równanie kwadratowe

$ b^2_1 x^2 + 2(2 - a_1b_1)x + a^2_1 = 0, $

więc wyróżnik tego równania, czyli

$ 4(2-a_1b_1)^2 - 4a^2_1 b^2_1 = 16(1-a_1b_1) $

jest kwadratem liczby wymiernej, zatem również liczba $1-a_1b_1$ jest kwadratem liczby wymiernej.

Ponieważ warunki zadania nie ulegają zmianie, gdy $a_1$ , $b_1$ , $a_2$ , $b_2$ zamienimy odpowiednio na $a_2$ , $b_2$ , $a_1$ , $b_1$ , więc liczba $1- a_2b_2$ jest także kwadratem liczby wymiernej.