XVIII ZMPB - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XVIII ZMPB, 2007

Niech $F$ , $G$ , $H$ będą takimi wielomianami stopnia co najwyżej $2n+1$ o współczynnikach rzeczywistych, że:

Dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$ mamy

$ F(x)\le G(x)\le H(x). $
Istnieją takie różne liczby rzeczywiste $x_1$ , $x_2$ , $\ldots$ , $x_n$ , że

$ F(x_i)=H(x_i)\qquad\hbox{dla }i=1,2,\ldots,n. $
Istnieje liczba rzeczywista $x_0$ różna od $x_1$ , $x_2$ , $\ldots$ , $x_n$ , dla której

$ F(x_0)+H(x_0)=2G(x_0). $

Dowieść, że

$ F(x)+H(x)=2G(x) $

dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$ .

Rozwiązanie

Rozpatrzmy wielomiany $P$ i $Q$ określone wzorami

$ P(x)=G(x)-F(x), \qquad Q(x)=H(x)-F(x). $

Są to wielomiany stopnia co najwyżej $2n+1$ . Na mocy warunku (1) mamy

$ Q(x)\ge P(x)\ge 0 $

dla każdej liczby rzeczywistej $x$ . Z kolei warunek (2) implikuje, że

$ Q(x_i)=P(x_i)=0 \qquad\hbox{dla }i=1,2,\ldots,n. $

Ponieważ wielomiany $P$ i $Q$ przybierają tylko wartości nieujemne, więc liczby $x_1$ , $x_2$ , $\ldots$ , $x_n$ są pierwiastkami tych wielomianów o krotności co najmniej $2$ . Wobec tego wielomiany te są podzielne przez wielomian

$ R(x)=(x-x_1)^2(x-x_2)^2\ldots(x-x_n)^2. $

Ponadto ilorazy $P(x)/ R(x)$ i $Q(x)/ R(x)$ są wielomianami przyjmującymi tylko wartości nieujemne. Z drugiej strony, stopnie wielomianów $P$ i $Q$ nie przekraczają $2n+1$ , zaś $R$ jest wielomianem stopnia $2n$ . Wynika stąd, że ilorazy $P(x)/ R(x)$ i $Q(x)/ R(x)$ są wielomianami stopnia co najwyżej $1$ przyjmującymi tylko wartości nieujemne. Są to więc wielomiany stałe.

Udowodniliśmy zatem istnienie takich liczb rzeczywistych $a$ i $b$ , że

$ P(x)=aR(x), \qquad Q(x)=bR(x) $

dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$ . Korzystając z warunku (3) dostajemy

$ bR(x_0)=Q(x_0)=H(x_0)-F(x_0)=2G(x_0)-2F(x_0)=2P(x_0)=2aR(x_0). $

Liczba $x_0$ jest różna od każdej z liczb $x_1$ , $x_2$ , $\ldots$ , $x_n$ , nie jest więc pierwiastkiem wielomianu $R$ . Wobec tego z powyższej równości wynika, że $b=2a$ i w konsekwencji dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ otrzymujemy

$ F(x)+H(x)-2G(x)=Q(x)-2P(x)=(b-2a)R(x)=0, $

co kończy rozwiązanie zadania.