XX OM - I -Zadanie 11

Zawody matematyczne:

XX OM, 1968-1969

Etap:

W czworokącie wypukłym $ABCD$ suma odległości każdego wierzchołka od prostych $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ jest taka sama. Dowieść, że czworokąt ten jest równoległobokiem.

Rozwiązanie

Oznaczmy miary kątów czworokąta literami $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , a długości boków $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ odpowiednio literami $a$ , $b$ , $c$ , $d$ (rys. 6).

Suma odległości wierzchołka $A$ od prostych zawierających boki czworokąta wynosi wówczas $a \sin B + d \sin D$ . Oznaczając wartości tej sumy literą $s$ mamy

$ a \sin B + d \sin D = s $

i analogicznie

$b \sin C + a \sin A = s$

$c \sin D + b \sin B = s$

$d \sin A + c \sin C = s.$

Obliczając z powyższego układu równań sinusy kątów czworokąta otrzymujemy

$ (1) \qquad \sin A = \frac{s(c-b)}{ac-bd}, $

$ (2) \qquad \sin B = \frac{s(c-d)}{ac-bd}, $

$ (3) \qquad \sin C = \frac{s(a-d)}{ac-bd}, $

$ (4) \qquad \sin D = \frac{s(a-b)}{ac-bd}. $

Z równości (1)--(4) wynika równość

$ \sin A + \sin C = \sin B + \sin D, $

którą możemy napisać w postaci

$ (5) \qquad 2 \sin \frac{A+C}{2} \cos \frac{A-C}{2}= 2 \sin \frac{B+D}{2} \cos \frac{B-D}{2}. $

Ponieważ $A+B+C+D = 2\pi$ , więc $\frac{B+D}{2}= \pi - \frac{A+C}{2}$ , zatem
$\sin \frac{A+C}{2} = \sin \frac{B+D}{2}$ i z równości (5) otrzymujemy

$ \cos \frac{A-C}{2} = \cos \frac{B-D}{2}. $

Stąd

$ (6) \qquad \frac{A-C}{2} = 2k \pi \pm \frac{B-D}{2} ( \textrm{$k$ -liczba całkowita}). $

Ponieważ $\left| \frac{A-C}{2} \right| < \pi$ , $\left| \frac{B-D}{2} \right| < \pi$ , więc w równości (6) $k = 0$ zachodzi któryś z przypadków

a) $\frac{A-C}{2} = \frac{B-D}{2}$ ; wtedy $A+D = B+C$ , zatem $A+D = \pi$ ,

skąd wynika, że boki $AB$ i $DC$ są równoległe i że $\sin D = \sin A$ , wobec czego z równości (1) i (4) otrzymujemy $a = c$ .

b) $\frac{A-C}{2} = - \frac{B-D}{2}$ ; wtedy $A + B = C+D$ , czyli $A + B = \pi$ , skąd wnioskujemy, że proste $AD$ i $BC$ są równoległe i że $\sin A = \sin B$ , więc z uwagi na (1) i (2) zachodzi równość $b = d$ .

Udowodniliśmy, że w danym czworokącie dwa boki przeciwległe są równoległe i równe, czworokąt ten jest więc równoległobokiem.