XX OM - I -Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XX OM, 1968-1969

Etap:

Dowieść, że jeżeli figura ma w przestrzeni $n$ osi symetrii, to liczba $n$ jest nieparzysta.

Rozwiązanie

Dowód twierdzenia oprzemy na dwóch lematach.

a) Jeżeli osie $OX$ i $OY$ prostokątnego układu współrzędnych są osiami symetrii figury $F$ , to oś $OZ$ jest także osią symetrii tej figury (rys. 7).

Niech $A = (x, y, z)$ będzie punktem figury $F$ . Współrzędne punktu $B$ symetrycznego do $A$ względem osi $OX$ otrzymamy biorąc tę samą pierwszą współrzędną, a pozostałe współrzędne zmieniając na liczby przeciwne, tzn. $B = (x, -y, -z)$ . Analogicznie $C = (-x, -y, z)$ jest punktem symetrycznym do $B$ względem osi $OY$ . Według założenia punkt $B$ oraz punkt $C$ należą do figury $F$ . Lecz punkt $C$ jest także symetryczny do $A$ względem osi $OZ$ . Zatem oś $OZ$ jest osią symetrii figury $F$ .

b) Jeżeli proste $s$ i $t$ są osiami symetrii figury $F$ , to prosta $u$ symetryczna do $t$ względem $s$ jest także osią symetrii figury $F$ .

Niech $A_1$ oznacza dowolnie obrany punkt figury $F$ , $A_2$ - punkt symetryczny do $A_1$ względem prostej $s$ , $A_3$ - punkt symetryczny do $A_2$ względem prostej $t$ oraz $A_4$ - punkt symetryczny do $A_3$ względem prostej $s$ . Z założenia wynika, że punkt $A_2$ , więc też $A_3$ , zatem również $A_4$ należą do figury $F$ . Punkty $A_1$ , $A_4$ oraz prosta $u$ są odpowiednio obrazami punktów $A_2$ , $A_3$ oraz prostej $t$ w symetrii względem prostej $s$ . Ponieważ $A_2$ i $A_3$ leżą symetrycznie względem prostej $t$ , więc ich obrazy $A_1$ i $A_4$ leżą symetrycznie względem obrazu prostej $t$ , tj. względem prostej $u$ . Prosta $u$ jest więc osią symetrii figury $F$ .

Ilustruje to rysunek 8 dla przypadku, gdy proste $s$ i $t$ przecinają się.

Powołując się na lematy a) i b) rozumujemy jak następuje.

Niech osiami symetrii figury $F$ będą proste $s_1, s_2, \ldots, s_n$ parami różne. Mamy dowieść, że $n$ jest liczbą nieparzystą, wobec czego możemy założyć, że $n > 1$ . Każdej osi $s_i$ ( $i \geq 2$ ) przyporządkujemy oś $s_j$ ( $j \geq 2,\ j \ne i$ ) w następujący sposób. Jeżeli oś $s_i$ jest prostopadła do $s_1$ i przecina $s_1$ w punkcie $O$ , to przyporządkowujemy jej tę oś symetrii $s_j$ figury, która jest prostopadła do $s_1$ i do $s_i$ w punkcie $O$ ; wiemy, że oś, taka istnieje (lemat a)). Jeżeli zaś oś $s_i$ nie jest prostopadła do osi $s_1$ lub jej nie przecina, to przyporządkowujemy jej tę oś symetrii $s_j$ figury, która jest prostą symetryczną do $s_i$ względem $s_1$ ; według lematu b) oś taka istnieje. W obu przypadkach prosta $s_j$ jest różna od $s_1$ i od $s_i$ a prostą przyporządkowaną osi $s_j$ jest $s_i$ . Zbiór $n-1$ prostych $s_2, s_3, \ldots, s_n$ podzielony został w ten sposób na rozłączne pary. Liczba $n$ jest zatem nieparzysta.

Uwaga. Opierając się na lemacie 2 udowodnimy twierdzenie:

Jeżeli zbiór osi symetrii figury $F$ jest skończony (ale nie pusty), to wszystkie te osie mają punkt wspólny.

Dowód. Jeżeli jakaś figura ma osie symetrii $s_1$ i $s_2$ , to według lematu 2 osiami symetrii tej figury są również proste $s_3, s_4, \ldots$ , gdzie $s_i$ ( $i = 3, 4, \ldots$ ) oznacza prostą symetryczną do prostej $s_{i-1}$ względem prostej $s_{i-2}$ .

Gdy proste $s_1$ i $s_2$ są skośne lub równoległe (ale różne), to wszystkie proste $s_i$ są różne, gdyż odległość prostej $s_i$ od prostej $s_{i-1}$ rośnie wtedy wraz z $i$ , figura ma zatem nieskończenie wiele osi symetrii. Jeśli więc zbiór osi symetrii figury $F$ jest skończony, to każde dwie osie symetrii tej figury przecinają się.

Stąd wynika, że jeżeli nie wszystkie osie symetrii figury $F$ leżą w jednej płaszczyźnie, to wszystkie te osie mają punkt wspólny. Jeśli bowiem osie symetrii $s_1$ i $s_2$ figury $F$ przecinają się w punkcie $M$ i zawierają się w płaszczyźnie $\alpha$ , to każda oś nie leżąca w płaszczyźnie $\alpha$ , np. $s_3$ przechodzi przez punkt $M$ (gdyż przecina $s_1$ i $s_2$ ), wobec czego każda oś symetrii figury leżąca w $\alpha$ też przechodzi przez $M$ (gdyż przecina $s_3$ . Pozostaje do rozpatrzenia przypadek, gdy wszystkie osie symetrii $s_1, s_2, \ldots, s_n$ ( $n > 2$ ) figury $F$ leżą w jednej płaszczyźnie. Przypuśćmy, że proste $s_i$ ( $i = 1 ,2\ldots, n$ ) nie przechodzą przez jeden punkt. Każda z prostych $s_i$ przecina każdą inną, więc zbiór $Z$ punktów przecięcia tych prostych jest wtedy skończonym zbiorem punktów płaszczyzny nie zawierającym się w jednej prostej (gdyż w zbiorze $Z$ są wierzchołki trójkąta). Każda z prostych $s_i$ jest na mocy lematu 2 osią symetrii figury $s_1 \cup s_2 \cup \ldots s_n$ , więc jest także osią symetrii zbioru $Z$ . W takim razie każda z prostych $s_i$ jest osią symetrii opony $W$ zbioru $Z$ , albowiem w symetrii obrazem opony zbioru jest opona obrazu tego zbioru. Przez każdy wierzchołek wielokąta $W$ przechodziłyby wtedy co najmniej dwie osie symetrii tego wielokąta, czyli dwa kolejne boki wielokąta leżałyby symetrycznie względem dwóch różnych prostych, co jest niemożliwe.

Dowód został przeprowadzony.

Uwzględniając powyższe twierdzenie można w rozwiązaniu poprzedniego zadania wprowadzić przy końcu małą poprawkę. Mianowicie w trzecim zdaniu od końca opuścić słowa: ,,lub jej nie przecina'', gdyż taki przypadek nie może zachodzić.