XX OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XX OM, 1968-1969

Etap:

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $a, b, c, d$ spełniają równania

$ (1) \; a^2 + b^2 = 1,\quad (2) \; c^2 + d^2 = 1, \quad (3) \; ac + bd = -\frac{1}{2}, $

$ (4) \qquad a^2 + ac + c^2 = b^2 + bd + d^2. $

Rozwiązanie

\spos{1} Jeżeli z danych równań wyrugujemy $b$ i $d$ , otrzymamy równanie postaci $f(a, c) = 0$ . W takim razie również $f(b, d) = 0$ , gdyż równania (1) --(3) nie ulegają zmianie, gdy zamiast $a, b, c, d$ napiszemy w nich $b,a,d, c$ . Wobec tego liczby $a, b, c, d$ spełniają równanie $f(a, c) = f(b, d)$ . Dojdziemy w ten sposób do równania (4).