XX OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XX OM, 1968-1969

Etap:

Znaleźć wszystkie liczby czterocyfrowe, w których cyfra tysięcy jest równa cyfrze setek, a cyfra dziesiątek - cyfrze jedności i które są kwadratami liczb całkowitych.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczba $x$ spełnia warunki zadania i oznaczmy jej kolejne cyfry literami $a, a, b, b$ . Wtedy

$ x = 1000a + 100a + 10b + b = 11 (100a+b). $

Liczba $x$ jest podzielna przez $11$ , zatem jako kwadrat liczby całkowitej jest podzielna przez $11^2$ , tzn. $x = 11^2 \cdot k^2$ ( $k$ - liczba całkowita), wobec czego

$ 100 a + b = 11k^2. $

Stąd

$ a+b = 11(k^2-9a). $

Liczba $a+b$ jest więc podzielna przez $11$ . Ponieważ $0 < a \leq 9$ , $0 \leq b \leq 9$ , więc $0 < a+b \leq 18$ , wobec czego

$ a+b = 11. $

Stąd wnioskujemy, że $b \ne 0$ , $b \ne 1$ ; ponieważ zaś $b$ jest końcową cyfrą kwadratu liczby całkowitej, więc nie jest żadną z cyfr $2, 3, 7, 8$ . Zatem $b$ jest jedną z cyfr $4, 5, 6, 9$ . Odpowiednimi wartościami $a$ są $7, 6, 5, 2$ , więc wartościami $x$ mogą być jedynie liczby $7744$ , $6655$ , $5566$ , $2299$ . Tylko pierwsza z nich jest kwadratem liczby całkowitej.

Zadanie ma jedno rozwiązanie, jest nim liczba $7744$ .