XX OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XX OM, 1968-1969

Etap:

Dany jest czworokąt $ABCD$ wpisany w koło. Obrazami punktów $A$ i $C$ w symetrii względem prostej $BD$ są odpowiednio punkty $A'$ i $C'$ , a obrazami punktów $B$ i $D$ w symetrii względem prostej $AC$ są odpowiednio punkty $B'$ i $D'$ . Dowieść, że punkty $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ leżą na okręgu.

Rozwiązanie

Prosta $A'C'$ jest symetryczna do prostej $AC$ względem prostej $BD$ , więc przechodzi przez punkt przecięcia $S$ prostej $AC$ z osią symetrii $BD$ . Tak samo prosta $B'D'$ przecina prostą $BD$ w punkcie osi symetrii $AC$ , tzn. przechodzi również przez punkt $S$ . Zachodzi równość odcinków symetrycznych

$ SA' = SA,\ SB' = SB,\ SC' = SC,\ SD' = SD. $

Ponieważ $SA \cdot SC = SB \cdot SD$ (twierdzenie o przecinających się cięciwach okręgu), więc

$ SA' \cdot SC' = SB' \cdot SD'. $

Stąd wynika na podstawie twierdzenia odwrotnego do wymienionego poprzednio, że punkty $A', B', C', D'$ leżą na okręgu.

Uwaga. W powyższym dowodzie powołaliśmy się na twierdzenie, że jeżeli odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $S$ i zachodzi równość $SA \cdot SC = SB \cdot SD$ , to punkty $A, B, C, D$ leżą na okręgu. Można je udowodnić korzystając z twierdzenia o kącie wpisanym w okrąg.

Niech $C_1$ i $D_1$ będą punktami symetrycznymi względem dwusiecznej kąta $ASD$ odpowiednio do punktów $C$ i $D$ . Wtedy $SA \cdot SC_1 = SB \cdot SD_1$ , czyli $\frac{SA}{SD_1} = \frac{SB}{SC_1}$ , więc $D_1$ i $C_1$ są obrazami punktów $A$ i $B$ w jednokładności o środku $S'$ . Stąd wynika równość kątów $ABS$ i $D_1C_1S$ . A ponieważ wobec symetrii $\measuredangle D_1C_1S = \measuredangle DCS$ , więc $\measuredangle ABS = \measuredangle DCS$ . Zatem punkty $B$ i $C$ , z których odcinek $AD$ widać pod tym samym kątem i które leżą po tej samej stronie prostej $AD$ znajdują się na okręgu przechodzącym przez punkty $A$ i $D$ (rys. 10).