XX OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XX OM, 1968-1969

Etap:

Udowodnić, że dla dowolnych liczb naturalnych min zachodzi nierówność

$ (1) \qquad 1^m + 2^m + \ldots + n^m \geq n\cdot \left( \frac{n+1}{2}\right)^m $

Rozwiązanie

Wiemy (patrz zadanie 5), że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ i dowolnego naturalnego $m$ zachodzi nierówność

$ a^m + b^m \geq 2 \left( \frac{a+b}{2}\right)^m. $

Zastosujemy tę nierówność do sumy występującej po lewej stronie nierówności (1). Łączymy wyrazy tej sumy po dwa: pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim itd.

Gdy liczba $n$ jest parzysta, np. $n = 2k$ , wtedy

$ \begin{split} 1^m + 2^m + \ldots + n^m &= (1^m + n^m) + (2^m + (n-1)^m) + \ldots + (k^m + (k + 1)^m) \geq \\ & \geq \underbrace{2 \left( \frac{n+1}{2} \right)^2 + 2 \left( \frac{n+1}{2} \right)^2 + \ldots + 2 \left( \frac{n+1}{2} \right)^2}_{k \textrm{ wyrazów}} =\\ &=2k \left( \frac{n+1}{2} \right)^m = n \cdot \left( \frac{n+1}{2} \right)^m \end{split} $

Gdy zaś $n$ jest nieparzyste, np. $n = 2k+1$ , wtedy

$ \begin{split} 1^m + 2^m + \ldots + n^m = (1^m + n^m) + (2^m + (n-1)^m) + \ldots + (k^m + (k + 2)^m) + (k+1)^m \geq \\ \begin{split} & \geq \underbrace{2 \left( \frac{n+1}{2} \right)^m + 2 \left( \frac{n+1}{2} \right)^m + \ldots + 2 \left( \frac{n+1}{2} \right)^m + 2 \left( \frac{n+1}{2} \right)^m}_{k \textrm{ wyrazów}} + \left( \frac{n+1}{2} \right)^m=\\ &= (2k+1) \left( \frac{n+1}{2} \right)^m = n \cdot \left( \frac{n+1}{2} \right)^m \end{split} \end{split} $

Wzór (1) jest prawdziwy w obu przypadkach.