XX OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XX OM, 1968-1969

Etap:

Dowieść, że jeżeli przy rzutowaniu równoległym jednej płaszczyzny na drugą płaszczyznę obrazem pewnego kwadratu jest kwadrat, to obrazem każdej figury jest figura do niej przystająca.

Rozwiązanie

Niech rzutem równoległym kwadratu $MNPQ$ leżącego na płaszczyźnie $\alpha$ będzie kwadrat $M'N'P'Q'$ płaszczyzny $\beta$ .

Wtedy rzutem płaszczyzny $\alpha$ jest cała płaszczyzna $\beta$ i rzutowanie jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem jednej płaszczyzny na drugą. Wiadomo, że przy takim rzutowaniu rzuty odcinków równoległych są odcinkami równoległymi, a stosunek długości odcinków równoległych jest równy stosunkowi długości ich rzutów.

Oznaczmy literą $k$ stosunek $MN \colon M'N'$ długości boków danych kwadratów. Tej samej liczbie $k$ równa się stosunek długości dowolnego odcinka równoległego którejś z prostych $MN$ i $NP$ do długości jego rzutu.

Niech $AB$ (rys. 11) będzie dowolnym odcinkiem płaszczyzny $\alpha$ nierównoległym do $MN$ , ani do $NP$ . Zbudujmy trójkąt prostokątny $ABC$ , w którym $AC \parallel MN$ , $BC \parallel NP$ ; rzutem tego trójkąta jest trójkąt prostokątny $A'B'C'$ , w którym $A'C' \parallel M'N'$ a $B'C' \parallel N'P'$ .

Ponieważ $AC \colon A'C' = k$ , $BC \colon B'C' = k$ , więc trójkąty $ABC$ i $A'B'C'$ są podobne i $AB \colon A'B' = k$ .

Rozważane odwzorowanie płaszczyzny $\alpha$ na płaszczyznę $\beta$ zmienia zatem odległości wszystkich odcinków w tym samym stosunku $k$ , czyli jest podobieństwem. Zauważmy teraz, że pewne odcinki płaszczyzny $\alpha$ mają takie same długości, jak ich rzuty na płaszczyznę $\beta$ . Własność tę ma na przykład każdy odcinek płaszczyzny $\alpha$ równoległy do rzutni $\beta$ . Stąd wynika, że $k = 1$ , tzn. że rozważane podobieństwo jest przystawaniem (izometrią), c.n.d.

Uwaga. Założenie twierdzenia można osłabić: wystarczy przyjąć, że rzut pewnego trójkąta $ABC$ płaszczyzny $\alpha$ na płaszczyznę $\beta$ jest trójkątem podobnym do trójkąta $ABC$ .