XX OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XX OM, 1968-1969

Etap:

Dowieść, że każdy wielościan ma co najmniej dwie ściany o tej samej liczbie boków.

Rozwiązanie

Niech $s$ oznacza liczbę ścian wielościanu $W$ , a $P$ taką jego ścianę, która ma największą liczbę boków; liczbę tę oznaczymy literą $n$ . Do wielokąta $P$ przylega wzdłuż jego boków $n$ innych (parami różnych) ścian wielościanu, zatem $s \geq n+1$ . Z drugiej strony, liczba boków każdej ściany wielościanu $W$ jest jedną z liczb $3, 4, \ldots, n$ ; liczb tych jest $n-2$ . Gdyby więc każda ściana wielościanu miała inną liczbę boków, to zachodziłaby nierówność $s \leq n-2$ sprzeczna z poprzednią. Zatem wielościan taki nie istnieje.

Uwaga. Rozumowanie powyższe wykazuje, że zachodzi twierdzenie mocniejsze: W każdym wielościanie są co najmniej trzy takie ściany, że każda z nich ma tyle samo boków, co któraś różna od niej ściana wielościanu.