XX OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XX OM, 1968-1969

Etap:

III

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $a, b, c$ , spełniają warunek

$ (1) \qquad \frac{a}{m+2} + \frac{b}{m+1} + \frac{c}{m} = 0, $

gdzie $m$ oznacza liczbę dodatnią, to równanie

$ (2) ax^2 + bx + c = 0 $

ma pierwiastek zawarty między 0 i 1.

Rozwiązanie

Wystarczy przeprowadzić dowód, gdy $a \geq 0$ . Przypadek ujemnego $a$ sprowadza się bowiem do przypadku $a > 0$ przez zmianę znaków w równościach (1) i (2) na przeciwne.

I. Gdy $a = 0$ , dowód jest krótki:

Jeśli $b \ne 0$ , to równanie (2) ma pierwiastek

$ x_0 = - \frac{c}{b}, $

a ponieważ z warunku (1) wynika, że gdy $a = 0$ , wtedy $\frac{c}{b} = -\frac{m}{m+1}$ , więc $x_0 = \frac{m}{m+1}$ , zatem $0 < x_0 < 1$ .

Jeśli zaś $b = 0$ , to na mocy (1) również $c = 0$ , więc równanie (2) jest spełnione dla dowolnego $x$ .

II. $a > 0$

Niech $f(x)$ oznacza wartość lewej strony równania (2). Udowodnimy najpierw, że z założenia (1) wynika nierówność

$ f \left( \frac{m}{m+1} \right) < 0. $

Istotnie

$ f \left( \frac{m}{m+1} \right) = m \left( \frac{m}{m+1} \right)^2 + b \left( \frac{m}{m+1} \right) + c= m \left[ \frac{am}{(m+1)^2} + \frac{b}{m+1} + \frac{c}{m} \right]. $

Stąd i z założenia (1)

$ \begin{split} f \left( \frac{m}{m+1} \right) = & m \left[ \frac{am}{(m+1)^2} - \frac{a}{m+2} \right] = am \frac{m(m+2)-(m+1)^2}{(m+1)^2(m+2)} = \\ & = \frac{-am}{(m+1)^2(m+2)} \leq 0. \end{split} $

Rozróżnimy obecnie dwa przypadki

a) Jeśli $c > 0$ , to

$ (4) \qquad f(0) = c > 0. $

Z (3) i (4) wynika, że równanie $f(x) = 0$ ma w tym przypadku pierwiastek w przedziale $\left(0, \frac{m}{m+1} \right)$ , zawartym w przedziale $(0,1)$ .

b) Jeśli $c \leq 0$ , to

$ f(1) = a+b+c = (m+1) \left( \frac{a}{m+1} + \frac{b}{m+1} +\frac{c}{m+1} \right). $

Stosując (1) otrzymujemy

$ \begin{split} f(1) &= (m+1) \left[ \left( \frac{a}{m+1} + \frac{b}{m+1} +\frac{c}{m+1} \right) - \left( \frac{a}{m+2} + \frac{b}{m+1} +\frac{c}{m} \right) \right]=\\ & = (m+1) \left( \frac{a}{m+1} - \frac{a}{m+2} + \frac{c}{m+1} -\frac{c}{m} \right) = \\ & = (m+1) \left[ \frac{a}{(m+1)(m+2)} - \frac{c}{m(m+1)} \right]. \end{split} $

Zatem

$ (5) \qquad f(1) > 0. $

Z (3) i (5) wynika, że równanie $f(x) = 0$ ma w tym przypadku pierwiastek w przedziale $\left( \frac{m}{m+1}, 1 \right)$ zawartym w przedziale $(0, 1)$ .

Uwaga. W powyższym rozumowaniu oparliśmy się na twierdzeniu, że jeżeli funkcja kwadratowa $f$ przybiera dla dwóch wartości $x_1$ i $x_2$ argumentu $x$ wartości $f(x_1)$ i $f(x_2)$ o różnych znakach, to funkcja ta ma pierwiastek w przedziale $x_1 < x < x_2$ . Własność taką ma każda funkcja ciągła w przedziale $x_1 \leq x \leq x_2$ .