XX OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XX OM, 1968-1969

Etap:

III

Dane są liczby $a_1, a_2, \ldots, a_n$ , z których każde dwie są różne. Znaleźć najmniejszą wartość funkcji określonej wzorem

$ (1) \qquad y = |x-a_1| + |x-a_2| + \ldots + |x-a_n| $

Rozwiązanie

Możemy przyjąć, że dane liczby są ustawione w ciąg rosnący, tj. że

$ a_1 < a_2 < \ldots < a_n. $

\spos{1} Zauważmy, że według definicji bezwzględnej wartości liczby

$ | x-c | = \left\{ \begin{array}{cc} c - x, & \textrm{gdy } x \leq c, \\ x - c, & \textrm{gdy } x \geq c. \end{array}\right. $

funkcja $y = |x-c|$ jest funkcją określoną i ciągłą dla każdego $x$ w przedziale $- \infty < x \leq c$ jest ona funkcją liniową malejącą, a w przedziale $c \leq x < \infty$ - funkcją liniową rosnącą. Wykres jej przedstawia rysunek 12.

Stąd wynika, że dana funkcja (1) jest także funkcją określoną i ciągłą dla wszystkich wartości $x$ . W każdym z przedziałów $-\infty < x < a_1,\ a_1 \leq x \leq a_2,\ \ldots,\ a_{k-1} \leq x \leq a_k,\ a_k \leq x < \infty$ jest ona funkcją liniową, gdyż jest sumą $n$ funkcji liniowych. Zbadajmy, w których przedziałach funkcja jest rosnąca, a w których malejąca.

1) Gdy $- \infty < x \leq a_1$ , wtedy

$ y = \sum_{i=1}^n |x - a_i| = -nx + \sum_{i=1}^n a_i, $

funkcja jest malejąca.

2) Gdy $a_n \leq x < \infty$ , wtedy

$ \sum_{i=1}^n |x - a_i| = nx - \sum_{i=1}^n a_i, $

funkcja jest rosnąca.

3) Gdy $a_k \leq x \leq a_{k+1}$ , wtedy

$ \begin{split} \sum_{i=1}^n |x - a_i| &= \sum_{i=1}^k |x - a_i| + \sum_{i=k+1}^n |x - a_i|=\\ &= kx - \sum_{i=1}^k a_i + \sum_{i=k+1}^n a_i - (n-k)n =\\ &= (2k-n) x - \sum_{i=1}^k a_i + \sum_{i=k+1}^n a_i. \end{split} $

Dana funkcja (1) jest w przedziale $\langle a_k, a_{k+1} \rangle$ rosnąca, gdy $2k > n$ , malejąca, gdy $2k < n$ .

Rozróżnimy dwa przypadki

a) $n = 2m$ jest liczbą parzystą.

W tym przypadku w przedziale $\langle a_k, a_{k+1} \rangle$ funkcja (1) jest:

malejąca, gdy $k = 1, 2, \ldots, (m-1)$
rosnąca, gdy $k = m+1, m+2, \ldots, n- 1$
stała, gdy $k = m$ .

Zatem funkcja (1) osiąga swą najmniejszą wartość w każdym z punktów przedziału $a_m \leq x \leq a_{m+1}$ .

Wartością tą jest według 3) liczba

$ -a_1-a_2- \ldots -a_m+a_{m+1}+a_{m+2}+ \ldots +a_n. $

b) $n = 2m+1$ jest liczbą nieparzystą.

W tym przypadku w przedziale $\langle a_k, a_{k+1} \rangle$ funkcja (1) jest

malejąca, gdy $k = 1, 2, \ldots, m$ ,
rosnąca, gdy $k = m+1, m+2, \ldots, 2m$ .

Wartość najmniejszą osiąga funkcja w punkcie $x = a_{m+1}$ ; jest nią według 3) liczba

$ a_{m+1}- \sum_{i=1}^{m+1} a_i + \sum_{i=m+2}^{n} a_i = -a_1 - a_2 - \ldots - a_m + a_{m+2} + a_{m+3} + \ldots + a_n. $

Rysunek 13 przedstawia wykres funkcji $y = |x-1| + |x-2| + |x-3| + |x-4|$ , a rysunek 14 - wykres funkcji $y = |x-1| + |x-2| + |x-3| + |x-4| + |x-5|$ .