XVIII ZMPB - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XVIII ZMPB, 2007

Niech $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_n$ będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi, i niech $S=a_1+a_2+\ldots+a_n$ . Udowodnić, że

$ \begin{split} (2S+n)(2S&+a_1a_2+a_2a_3+\ldots+a_na_1)\ge \\ &\ge 9\Bigl(\sqrt{a_1a_2}+\sqrt{a_2a_3}+\ldots+\sqrt{a_na_1}\Bigr)^2. \end{split} $

Rozwiązanie

Zauważmy przede wszystkim, że

$ \begin{split} 2S-2(\sqrt{a_1a_2}&+\sqrt{a_2a_3}+\ldots+\sqrt{a_na_1})= \\ &=(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2})^2+(\sqrt{a_2}-\sqrt{a_3})^2+\ldots+ (\sqrt{a_n}-\sqrt{a_1})^2\ge 0, \end{split} $

skąd uzyskujemy nierówność

$ (1) \qquad 2S\ge 2(\sqrt{a_1a_2}+\sqrt{a_2a_3}+\ldots+\sqrt{a_na_1}). $

Podnosząc tę nierówność stronami do kwadratu uzyskujemy

$ (2) \qquad 4S^2\ge 4\Bigl(\sqrt{a_1a_2}+\sqrt{a_2a_3}+\ldots+\sqrt{a_na_1}\Bigr)^2. $

Korzystając z kolei z nierówności $x+y\ge 2\sqrt{xy}$ otrzymujemy

$ 1+a_1a_2\ge 2\sqrt{a_1a_2}, \quad 1+a_2a_3\ge 2\sqrt{a_2a_3}, \quad\ldots,\quad 1+a_na_1\ge 2\sqrt{a_na_1}, $

co prowadzi do związku

$ n+a_1a_2+a_2a_3+\ldots+a_na_1\ge 2(\sqrt{a_1a_2}+\sqrt{a_2a_3}+\ldots+\sqrt{a_na_1}), $

który w połączeniu z zależnością (1) pozwala napisać

$ (3) \qquad 2S(n+a_1a_2+a_2a_3+\ldots+a_na_1)\ge 4\Bigl(\sqrt{a_1a_2}+\sqrt{a_2a_3}+\ldots+\sqrt{a_na_1}\Bigr)^2. $

Wreszcie na mocy nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i kwadratową dostajemy

$ {a_1a_2+a_2a_3+\ldots+a_na_1\over n}\ge \Bigl({\sqrt{a_1a_2}+\sqrt{a_2a_3}+\ldots+\sqrt{a_na_1}\over n}\Bigr)^2, $

i wobec tego

$ (4) \qquad n(a_1a_2+a_2a_3+\ldots+a_na_1)\ge \Bigl(\sqrt{a_1a_2}+\sqrt{a_2a_3}+\ldots+\sqrt{a_na_1}\Bigr)^2. $

Dodając stronami nierówności (2), (3), (4) uzyskujemy tezę.