XX OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XX OM, 1968-1969

Etap:

III

Dowieść, że ośmiokąt, którego wszystkie boki są równe, a wszystkie długości boków są liczbami wymiernymi, ma środek symetrii.

Rozwiązanie

Według znanego twierdzenia suma miar kątów zewnętrznych wielokąta wynosi $360$ . Wobec tego w ośmiokącie $A_1A_2 \ldots A_8$ o równych kątach każdy kąt zewnętrzny równa się $45^\circ$ .

Weźmy pod uwagę trzy kolejne boki ośmiokąta, np. $A_1A_2$ , $A_2A_3$ i $A_3A_4$ . Przedłużenia boków $A_1A_2$ i $A_4A_3$ tworzą odpowiednio z półprostymi $A_2A_3$ i $A_3A_2$ kąty równe $45^\circ$ , więc przecinają się w pewnym punkcie $N$ pod kątem prostym (rys. 15).

To samo zachodzi dla innych trójek kolejnych boków ośmiokąta. Boki przeciwległe $A_1A_2$ i $A_5A_6$ ośmiokąta leżą zatem na przeciwległych bokach $MN$ i $PQ$ prostokąta $MNPQ$ , gdzie $M$ , $P$ , $Q$ oznaczają odpowiednio punkty przecięcia prostych $A_1A_2$ i $A_7A_8$ , $A_3A_4$ i $A_5A_6$ oraz $A_5A_6$ i $A_7A_8$ .

Zakładając, że długości boków ośmiokąta są wymierne, wywnioskujemy stąd, że $A_1A_2 = A_5A_6$ .

Dla krótkości wprowadzimy oznaczenia

$ A_iA_{i+1} = a_i\ (i=1,2, \ldots, 7),\ A_8A_1 = a_8. $

Obliczamy

$ MN = MA_1 + A_1A_2 + A_2N = a_8 \cos 45^\circ + a_1 + a_2 \cos 45^\circ $

$ PQ = PA_5 + A_5A_6 + A_6Q = a_4 \cos 45^\circ + a_5 + a_6 \cos 45^\circ. $

Ponieważ $MN = PQ$ , więc na mocy powyższych równości

$ a_8 \cos 45^\circ + a_1 + a_2 \cos 45^\circ = a_4 \cos 45^\circ + a_5 + a_6 \cos 45^\circ, $

a stąd

$ a_1-a_5 = (a_4+a_6 - a_2-a_8) \cos 45^\circ. $

Ponieważ liczby $a_1-a_5$ i $a_4 + a_6 -a_2-a_8$ są wymierne, a liczba $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ jest niewymierna, więc powyższa równość może zachodzić tylko wtedy, gdy obie jej strony są równe zeru. Zatem $a_1 = a_5$ , tj.

$ A_1A_2 = A_5A_6. $

Czworokąt $A_1A_2A_5A_6$ ma dwa boki równe i równoległe jest więc równoległobokiem. Jego przekątne $A_1A_5$ i $A_2A_6$ mają wspólny środek $S$ .

Tak samo stwierdzamy, że czworokąty $A_2A_3A_6A_7$ i $A_3A_4A_7A_8$ są równoległobokami, wobec czego środek $S$ przekątnej $A_2A_6$ jest także środkiem przekątnej $A_3A_7$ i środkiem przekątnej $A_4A_8$ .

Dany ośmiokąt ma więc środek symetrii $S$ , c.n.d.