XX OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XX OM, 1968-1969

Etap:

III

Dowieść, że jeżeli liczby naturalne $a, b, p, q, r, s$ , spełniają warunki

$ (1) \; qr-ps = 1,\quad (2) \; \frac{p}{q} < \frac{a}{b} < \frac{r}{s} $

$ b \geq q+s. $

Rozwiązanie

Według (2)

$ \frac{a}{b} - \frac{p}{q} = \frac{aq-bp}{bq} > 0, $

$ \frac{r}{s} - \frac{a}{b} = \frac{br-as}{bs} > 0. $

Zatem $aq-bp > 0$ , $br-as > 0$ , a ponieważ lewe strony tych nierówności są liczbami całkowitymi, więc

$ aq-bp \geq 1, \ br-as \geq 1. $

Mnożymy obie strony pierwszej nierówności przez $s$ , a drugiej przez $q$ i dodajemy je stronami:

$ b (rq-ps) \geq q+s. $

Stąd po uwzględnieniu warunku (1) otrzymujemy

$ b \geq q+s. $