XX OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XX OM, 1968-1969

Etap:

III

Dla jakich wartości $n$ istnieje wielościan mający $n$ krawędzi?

Rozwiązanie

Wielościan mający $n$ krawędzi istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy $n \geq 6$ i $n \ne 7$ .

Dowód. a) Przykładem wielościanu mającego $n = 2m$ ( $m \geq 3$ ) krawędzi jest ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt o $m$ bokach.

b) Przykład wielościanu mającego $n = 2m+1$ ( $m \geq 4$ ) krawędzi można otrzymać przy użyciu ostrosłupa o $2(m-1)$ krawędziach. W tym celu prowadzimy płaszczyznę przez środki $M$ , $N$ , $P$ takich trzech krawędzi ostrosłupa, które wychodzą z jednego wierzchołka $S$ podstawy ostrosłupa. Bryła, która powstanie po odrzuceniu od ostrosłupa czworościanu $SMNP$ jest wielościanem, który ma o $3$ krawędzie więcej niż ostrosłup, tj. ma $2m-2+3 = 2m+1$ krawędzi. W tej konstrukcji $m$ może być dowolną liczbą spełniającą warunek $m-1 \geq 3$ , tj. warunek $m \geq 4$ .

c) Nie istnieje wielościan mający $7$ krawędzi. Można to udowodnić jak następuje. Jeżeli któraś ściana wielościanu nie jest trójkątem, a więc ma $4$ lub więcej boków, to wielościan ma co najmniej $8$ krawędzi, albowiem z każdego wierzchołka tej ściany wychodzi, oprócz dwóch jej boków, jeszcze co najmniej jedna krawędź, a wszystkie te krawędzie są różne.

Jeśli zaś wszystkie ściany wielościanu są trójkątami, a liczba ścian
wynosi $s$ , to liczba krawędzi $k = \frac{3s}{2}$ , więc liczba $k$ jest podzielna przez $3$ , wobec czego $k \ne 7$ .

d) Nie istnieje wielościan mający mniej niż $6$ krawędzi, albowiem każdy wielościan ma co najmniej $4$ wierzchołki, a z każdego wierzchołka wychodzą co najmniej $3$ krawędzie, więc liczba krawędzi jest większa lub równa $\frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ .