XX OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XX OM, 1968-1969

Etap:

III

Dany jest zbiór $n$ punktów płaszczyzny nie zawierający się w jednej prostej. Dowieść, że istnieje okrąg przechodzący przez co najmniej trzy z tych punktów, wewnątrz którego nie ma żadnego z pozostałych punktów zbioru.

Rozwiązanie

\spos{1} Wybierzmy z danego zbioru punktów $Z = \{A_1, A_2, \ldots, A_n \}$ takie dwa punkty, których odległość jest najmniejsza; przypuśćmy, że są to punkty $A_1$ i $A_2$ . W kole $K$ o średnicy $A_1A_2$ nie ma wtedy żadnego punktu zbioru $Z$ różnego od $A_1$ i $A_2$ .

Weźmy pod uwagę zbiór $\Omega$ wszystkich okręgów, z których każdy przechodzi przez punkty $A_1$ i $A_2$ i jeszcze przez jakiś inny punkt zbioru $Z$ . Ponieważ punkty zbioru $Z$ nie leżą na jednej prostej, więc zbiór $\Omega$ nie jest pusty. Jest on zbiorem skończonym, zatem istnieje w nim okrąg $O_S$ o środku $S$ , którego promień ma najmniejszą długość (rys. 16).

Wewnątrz okręgu $O_S$ nie ma żadnego punktu zbioru $Z$ . Istotnie, jeśli punkt $A_k$ zbioru $Z$ nie leży na okręgu $O_S$ ani na prostej $A_1A_2$ na zewnątrz $O_S$ , to znajduje się na pewnym okręgu $O_T \in \Omega$ o środku $T$ różnym od $S$ , którego promień jest nie mniejszy od promienia okręgu $O_S$ . Okrąg $O_S$ rozcina okrąg $O_T$ na dwa łuki o końcach $A_1$ , $A_2$ , z których większy $L_1$ leży (z wyjątkiem końców) na zewnątrz okręgu $O_S$ , mniejszy $L_2$ - wewnątrz $O_S$ . Łuk $L_2$ jest mniejszy od półokręgu, wobec czego znajduje się w kole $K$ . Zatem punkt $A_k$ należy do łuku $L_1$ .

Okrąg $O_S$ jest więc takim okręgiem, jakiego istnienie należało udowodnić.