XIX OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XIX OM, 1967-1968

Etap:

Rozwiązać układ równań

$ (1) \qquad \begin{cases} |x + y| &= 1 \\ |x| + |y| &= 1. \end{cases} $

Rozwiązanie

Układ równań (1) jest równoważny układowi

$ (2) \qquad |x + y| = 1,\ |x + y|= |x| + |y|. $

Drugie równanie układu (2) jest spełnione wtedy i tylko, wtedy, gdy liczby $x$ i $y$ są tego samego znaku, lub gdy któraś z nich jest zerem, tzn. gdy $xy \geq 0$ . Układ (2) jest więc równoważny układowi

$ (3) \qquad |x + y| = 1,\ xy \geq 0. $

Układ (3) jest równoważny alternatywie

$ (4) \qquad x+y=1, \ xy \geq 0 $

lub

$ (5) \qquad x + y = - 1,\ xy \geq 0. $

Układy (4) i (5) są odpowiednio równoważne układom

$ (6) \qquad y = 1 - x, \ x(1 - x) \geq 0, $

$ (7) \qquad y = - 1-x,\ x (- 1 - x) \geq 0. $

Ponieważ $x(1 - x) \geq 0 \Longleftrightarrow 0 \leq x \leq 1$ , a $x(- 1 - x) \geq 0 \Longleftrightarrow - 1 \leq x \leq 0$ , więc układy (6) i (7) są odpowiednio równoważne układom

$ (8) \qquad 0 \leq x \leq 1,\ y=1-x, $

$ (9) \qquad - 1 \leq x \leq 0,\ y= -1 - x. $

Okazało się, że para liczb $(x, y)$ jest rozwiązaniem układu (1) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia układ warunków (8) lub układ warunków (9). A zatem:

Rozwiązaniami układu równań (1) są te i tylko te pary liczb $(x,y)$ , w których $x$ jest dowolną liczbą przedziału $-1 \leq x \leq 1$ , a $y = 1 - x$ , gdy $x \geq 0$ oraz $y = - 1 - x$ , gdy $x \leq 0$ .

Wynik ten możemy również uzyskać przez rozważenie wykresów równań (1). Wykresem pierwszego równania są dwie proste równoległe $y = 1 - x$ i $y = - 1 - x$ , a wykresem drugiego równania jest obwód kwadratu o wierzchołkach $(1,0)$ , $(0,1)$ , $(-1,0)$ , $(0,-1)$ . Rozwiązania układu (1) przedstawiają punkty dwóch odcinków wspólnych obu wykresom (rys. 1).