XVIII ZMPB - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XVIII ZMPB, 2007

Funkcja $f$ , określona na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych różnych od $0$ , przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste różne od $1$ . Ponadto

$ f(xy)=f(x)f(-y)-f(x)+f(y) $

dla dowolnych $x,y\ne 0$ , oraz

$ f(f(x))={1\over f({1\over x})} $

dla każdego $x\not\in\{0,1\}$ . Wyznaczyć wszystkie takie funkcje $f$ .

Rozwiązanie

W pierwszym równaniu danym w treści zadania przyjmujemy $y=1$ . Otrzymujemy

$ f(x)=f(x)f(-1)-f(x)+f(1),\quad\hbox{czyli}\quad f(x)\cdot (2-f(-1))=f(1) $

dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne 0$ . Z założenia funkcja $f$ nie jest stała, więc wynika stąd, że $f(1)=0$ oraz $f(-1)=2$ . Następnie podstawiamy w pierwszym równaniu $y=-1$ i obliczamy, że

$ (1) \qquad f(-x)=f(x)f(1)-f(x)+f(-1)=2-f(x). $

Oznaczmy

$ g(x)=1-f(x) $

dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne 0$ . Równość (1) przepisujemy teraz w postaci

$ g(-x)=1-f(-x)=1-(2-f(x))=-(1-f(x))=-g(x). $

To oznacza, że funkcja $g$ jest nieparzysta.

Przekształcamy teraz pierwsze równanie z treści zadania:

$ \begin{split} g(xy)&=1-f(xy)=1-f(x)f(-y)+f(x)-f(y)=\\ &=1-(1-g(x))(1-g(-y))+(1-g(x))-(1-g(y))=\\ &=1-1+g(x)+g(-y)-g(x)g(-y)+1-g(x)-1+g(y)=\\ &=g(x)g(y). \end{split} $

Podstawiając $y=1/x$ w powyższej zależności stwierdzamy, że

$ (2) \qquad g\Bigl({1\over x}\Bigr)={1\over g(x)}. $

dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne 0$ . Wykorzystując teraz drugie równanie w treści zadania oraz zależność (2) obliczamy, że

$ 1-g(1-g(x))=1-g(f(x))=f(f(x))={1\over f(\xfrac{1}{x})}= {1\over 1-g(\xfrac{1}{x})}={1\over 1-{1\over g(x)}} $

i w efekcie

$ (3) \qquad g(f(x))=g(1-g(x))=1-{1\over 1-{1\over g(x)}}={1\over 1-g(x)}= {1\over f(x)}. $

Funkcja $f$ przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste z wyjątkiem $1$ , więc równość (3) oznacza, że

$ g(y)={1\over y}\quad\hbox{dla }y\ne 0,1,\qquad\hbox{czyli}\qquad f(x)=1-{1\over x}\quad\hbox{dla }x\ne 0,1. $

Przy tym wyznaczona wcześniej wartość $f(1)=0$ również wynika z powyższego wzoru.

Bezpośrednio sprawdzamy, że taka funkcja $f$ spełnia warunki zadania.

Odpowiedź: Jedyną funkcją o żądanych własnościach jest $f(x)=1-{1\over x}$ .