XIX OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XIX OM, 1967-1968

Etap:

Na dwóch prostych skośnych leżą odcinki $AB$ i $CD$ , których środkami są odpowiednio punkty $M$ i $N$ . Dowieść, że

$ MN < \frac{1}{2}(AD + BC). $

Rozwiązanie

Niech $P$ będzie środkiem odcinka $AC$ (rys. 2). Punkt $P$ nie może leżeć na prostej $MN$ , gdyż wówczas proste $AB$ i $CD$ leżałyby w płaszczyźnie wyznaczonej przez proste $AC$ i $MN$ , więc nie byłyby skośne. W takim razie

$ (1) \qquad MN < MP + PN. $

W trójkącie $ABC$ odcinek $MP$ łączący środki boków $AB$ i $AC$ jest równy połowie boku $BC$ :

$ (2) \qquad MP = \frac{1}{2} BC. $

Analogicznie

$ (3) \qquad PN = \frac{1}{2} AD. $

Ze związków (1), (2), (3) wynika, że

$ MN < \frac{1}{2}(AD + BC). $