XIX OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XIX OM, 1967-1968

Etap:

Na płaszczyźnie dane są proste równoległe $a$ i $b$ oraz punkt $M$ leżący na zewnątrz pasa ograniczonego tymi prostymi. Wyznaczyć na prostych $a$ i $b$ odpowiednio punkty $A$ i $B$ w taki sposób, żeby odcinek $AB$ był prostopadły do $a$ i $b$ , a przy tym kąt $AMB$ był największy.

Rozwiązanie

Niech $AB$ będzie odcinkiem o końcach $A \in a$ i $B \in b$ , prostopadłym do prostych $a$ i $b$ , a $N$ - punktem symetrycznym do punktu $M$ względem prostej równoległej do prostych $a$ i $b$ i od nich równoodległej (rys. 4).

Okrąg o średnicy $AB$ leży w pasie ograniczonym prostymi $a$ i $b$ , więc punkt $M$ leży na zewnątrz tego okręgu, wobec czego $\measuredangle AMB = \alpha$ jest mniejszy od $90^\circ$ . W takim razie maksimum kąta $\alpha$ zachodzi równocześnie z maksimum $\sin \alpha$ , gdyż dla kątów od $0^\circ$ do $90^\circ$ sinus kąta rośnie wraz z kątem.

Gdy odcinek $AB$ leży na prostej $MN$ , wówczas $\sin \alpha = 0$ .

Gdy punkty $A$ , $B$ , $M$ są wierzchołkami trójkąta, a $r$ oznacza promień okręgu opisanego na tym trójkącie, to $\sin \alpha = \frac{AB}{2r}$ . Odcinek $MN$ jest cięciwą tego okręgu, więc $MN \leq 2r$ , zatem