XIX OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XIX OM, 1967-1968

Etap:

Dowieść, że jeżeli wielomian $F(x)$ o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek $\frac{p}{q}$ , gdzie $p$ i $q$ są liczbami całkowitymi względnie pierwszymi, to $p - q$ jest dzielnikiem liczby $F(1)$ , a $p + q$ jest dzielnikiem liczby $F(-1)$ .

Rozwiązanie

Wprowadźmy zamiast $x$ zmienną $y = qx$ . Równość (1) otrzymuje postać

$ F \left( \frac{y}{q} \right) = a_0 \left( \frac{y}{q} \right)^n + a_1 \left( \frac{y}{q} \right)^{n-1} + \ldots + a_n. $

Rozważmy wielomian

$ q^n F \left( \frac{y}{q} \right) = a_0y^n + a_1 q y^{n-1} + \ldots + a_nq^n, $

którego współczynniki są liczbami całkowitymi. Ma on pierwiastek całkowity $y=p$ , wobec czego

$ q^n F \left( \frac{y}{q} \right) = (y~-p)Q(y), $

gdzie $Q(y)$ jest wielomianem o współczynnikach całkowitych*).

Podstawiając do tej równości $y = q$ otrzymujemy

$ q^n F (1) = (q-p)Q(p). $

Otóż liczby $q^n$ i $q -p$ są względnie pierwsze; gdyby bowiem jakaś liczba pierwsza była wspólnym dzielnikiem liczb $q^n$ i $q-p$ , byłaby ona również wspólnym dzielnikiem liczb $q$ i $q - p$ , a więc też wspólnym dzielnikiem liczb $q$ i $q-(q-p)=p$ wbrew założeniu.

W takim razie liczba $q-p$ jest dzielnikiem liczby $F(1)$ , c.n.d.

Uwaga. Jeszcze krótsze rozwiązanie zadania uzyskamy opierając się na twierdzeniu następującym:

Jeżeli wielomian $F(x)$ o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek wymierny $\frac{q}{p}$ ( $p$ , $q$ - liczby całkowite względnie pierwsze), to iloraz wielomianu $F(x)$ przez $x - \frac{p}{q}$ jest wielomianem o współczynnikach całkowitych.

Udowodnimy to twierdzenie. Niech

$ (*) \qquad F(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + \ldots + a_n= \left( x - \frac{p}{q} \right) (c_0x^{n-1} + c_1x^{n-2} + \ldots + c_{n-1}), $

gdzie liczby $a_0, a_1, \ldots,a_n$ są całkowite. Mamy dowieść, że liczby $c_0, c_1, \ldots, c_{n-1}$ są całkowite.

Współczynniki przy $x^n$ po obu stronach równości (*) są równe, więc $c_0 = a_0$ .

Zauważmy, że

$ a_0 \left( \frac{p}{q} \right)^{n} +a_1 \left( \frac{p}{q} \right)^{n-1} + \ldots + a_n =0, \textrm{ więc } a_0 p^n + a_1p^{n-1} q + \ldots + a_1 q^n = 0, $

skąd wynika, że $a_0$ , zatem również $c_0$ jest podzielne przez $q$ . Dowód twierdzenia przeprowadzimy metodą indukcji.

Gdy $n = 1$ , teza twierdzenia jest oczywista, iloraz $F(x)$ przez $x - \frac{p}{q}$ jest wtedy równy $c_0$ .

Przypuśćmy, że teza twierdzenia jest prawdziwa dla pewnego $n$ i niech

$ F(x) = a_0x^{n+1} + a_1x^n + \ldots + a_{n+1} = \left( x - \frac{p}{q}\right) (c_0x^n + c_1x^{n-1} + \ldots + c_n). $

Utwórzmy wielomian stopnia $n$

$ F(x) - \left(x - \frac{p}{q} \right) c_0 x^n = \left( a_1 - \frac{p}{q} c_0 \right) x^n + a_2 x^{n-1} + \ldots + a_{n+1} = \left(x - \frac{p}{q} \right) (c_1x^{n-1} + \ldots + c_n). $

Ponieważ liczba $c_0 = a_0$ jest podzielna przez $q$ , więc jest to wielomian o współczynnikach całkowitych. Według założenia indukcyjnego liczby $c_1, c_2, \ldots, c_n$ są całkowite, tzn. teza twierdzenia jest prawdziwa dla wielomianów stopnia $n + 1$ .