XIX OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

XIX OM, 1967-1968

Etap:

Punkty $D, E, F$ są środkami boków trójkąta $ABC$ . Dowieść, że jeżeli okręgi opisane na trójkątach $ABC$ i $DEF$ są styczne, to punkt styczności jest jednym z punktów $A$ , $B$ , $C$ i trójkąt $ABC$ jest prostokątny.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że okrąg $c$ opisany na trójkącie $ABC$ i okrąg $k$ opisany na trójkącie $DEF$ są styczne w punkcie $T$ (rys. 5).

Trójkąt $DEF$ leży wewnątrz okręgu $c$ , więc styczność okręgów $c$ i $k$ jest wewnętrzna i środek $S$ okręgu $k$ leży na półprostej $TO$ . Trójkąt $DEF$ jest podobny do trójkąta $ABC$ w stosunku $1 \colon 2$ , więc promień $TS$ okręgu $k$ jest dwa razy mniejszy od promienia $TO$ okręgu $c$ ; zatem punkt $S$ jest środkiem odcinka $TO$ , z $TO$ - średnicą okręgu $k$ .

Punkty $D$ , $E$ , $F$ okręgu $k$ są różne, więc co najwyżej jeden z nich może się pokrywać z punktem $O$ . Przypuśćmy, że np. punkty $D$ i $E$ są różne od punktu $O$ .

Cięciwa $BC$ okręgu $c$ , której środkiem jest punkt $D$ , jest prostopadła do prostej $OD$ , więc jeden z kątów $ODB$ i $ODC$ jest wpisany w okrąg $k$ , wobec czego punkt $B$ albo punkt $C$ znajduje się w końcu $T$ średnicy $OT$ okręgu $k$ . Tak samo jeden z końców cięciwy $AC$ leży w punkcie $T$ . Zatem w punkcie $T$ znajduje się wierzchołek $C$ trójkąta $ABC$ . W takim razie środek $F$ boku $AB$ leży w punkcie $O$ . Gdyby bowiem punkt $F$ był różny od punktu $O$ , wówczas cięciwa $AB$ okręgu $c$ byłaby prostopadła do prostej $OF$ , więc jeden z kątów prostych $OFA$ i $OFB$ byłby wpisany w okrąg $k$ , wobec czego punkt $A$ lub punkt $B$ znajdowałby się w punkcie $T$ , tzn. pokrywałby się z punktem $C$ , co jest niemożliwe.

Kąt $C$ trójkąta $ABC$ jest kątem wpisanym w okrąg $c$ , którego ramiona przechodzą przez końce średnicy $AB$ tego okręgu, czyli jest kątem prostym.