XIX OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

XIX OM, 1967-1968

Etap:

Dany jest czworościan $ABCD$ , w którym $AB = BC = CD = DA = 1$ . Dowieść, że objętość $V$ czworościanu $ABCD$ spełnia nierówność

$ V\leq \frac{2}{27} \sqrt{3}. $

Rozwiązanie

Z równości boków czworokąta $ABCD$ wynika, że płaszczyzna przechodząca przez prostą $BD$ i przez środek $M$ odcinka $AC$ jest płaszczyzną symetrii czworościanu $ABCD$ . Istotnie, środkowa $DM$ trójkąta równoramiennego $ADC$ jest prostopadła do jego podstawy $AC$ , tak samo $BM$ jest prostopadłe do $AC$ ; zatem prosta $AC$ prostopadła do dwóch różnych prostych $BM$ i $DM$ płaszczyzny $BMD$ jest prostopadła do tej płaszczyzny. Ponieważ zaś $AM = MC$ , więc punkty $A$ i $C$ są symetryczne względem płaszczyzny $BMD$ . Stąd wynika, że czworościany $ABMD$ i $CBMD$ , na które płaszczyzna $BMD$ rozcina czworościan $ABCD$ są symetryczne względem tej płaszczyzny (rys. 6).

Objętość $V$ czworościanu $ABCD$ jest zatem równa podwojonej objętości czworościanu $ABMD$ o podstawie $BMD$ i wysokości $AM$ :

$ (1) \qquad V = 2 \cdot \frac{1}{3} (\textrm{pole } BMD) AM. $

Niech $AM = x$ , wtedy $BM = MD = \sqrt{AB^2 -AM^2} = \sqrt{ 1 - x^2}$ , $\textrm{pole } BMD = \frac{1}{2} BM \cdot MD \cdot \sin \measuredangle BMD \leq \frac{1}{2} BM \cdot MD = \frac{1}{2} (1 - x^2)$ , więc według (1)

$ (2) \qquad V \leq \frac{1}{3} (1 - x^2) x,\ \textrm{gdzie } 0 < x < 1. $

Znajdziemy maksimum funkcji $y =(1 - x^2)x$ w przedziale $(0,1)$ . Zadanie to można sprowadzić do wyznaczenia maksimum iloczynu trzech czynników, których suma jest stała. W tym celu zauważmy, że iloczyn $(1 - x^2) x = (1 + x)(1 - x) x$ osiąga maksimum dla tych samych wartości $x$ , co proporcjonalny doń iloczyn $(m + mx) (n - nx) x$ , gdzie $m$ i $n$ oznaczają dowolne liczby dodatnie.

Suma czynników tego drugiego iloczynu równa się $m + n + (m - n + 1) x$ . Gdy $m$ i $n$ spełniają równanie

$ (3) \qquad m - n + 1 = 0, $

suma ta wynosi $m + n$ , więc jest niezależna od $x$ . Wiemy zaś, że maksimum iloczynu $(m + mx) (n - nx) x$ o stałej sumie czynników zachodzi wówczas, gdy czynniki te są równe, tj. gdy

$ (4) \qquad m + mx = n - nx = x. $

Liczby $x$ , $m$ , $n$ spełniają prócz tego nierówności

$ (5) \qquad x >0,\ m >0,\ n > 0. $

Stwierdzamy za pomocą łatwego rachunku, że układ warunków (3), (4), (5) ma dokładnie jedno rozwiązanie

$ x = \frac{\sqrt{3}}{3},\ m = \frac{\sqrt{3}-1}{2},\ x = \frac{\sqrt{3}+1}{2}. $

Na mocy przytoczonego wyżej twierdzenia o maksimum iloczynu wartość iloczynu $(1 - x^2)x$ jest największa, gdy $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , tzn.

$ (6) \qquad (1-x^2)x \leq (1 -\frac{1}{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{9} $

dla każdego $x$ z przedziału $(0,1)$ .

Z (6) i (2) wynika, że

$ V \leq \frac{2\sqrt{3}}{27}, \textrm{ c.n.d.} $

Uwaga 1. Maksimum funkcji $y = (1 - x^2)x$ w przedziale $0 < x < 1$ znajdziemy znacznie prościej za pomocą rachunku różniczkowego. Pochodna $y' = 1 - 3x^2$ przybiera w tym przedziale wartość $0$ tylko dla $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ . Ponieważ druga pochodna $y'' = - 6x$ jest dla $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ujemna, więc funkcja osiąga w tym punkcie maksimum lokalne, które jest zarazem największą wartością funkcji w całym przedziale $(0,1)$ .

Uwaga 2. Powyższe rozwiązanie zadania można zmodyfikować jak następuje.

Skorzystamy ze wzoru

$ (*) \qquad V = \frac{1}{3} (\textrm{pole } ABC)h, $

gdzie $h$ jest wysokością czworościanu $ABCD$ z wierzchołka $D$ .

Otóż

$ \textrm{pole } ABC = AM \cdot BM = x \sqrt{1 - x^2}. $

Wysokość $h$ czworościanu jest zarazem wysokością trójkąta $BMD$ z wierzchołka $D$ , więc możemy ją wyrazić w zależności od boków $BM = DM = \sqrt{1 -x^2}$ i $BD$ .

Oznaczając $BD = 2y$ otrzymujemy

$ h = \frac{2y \sqrt{1-x^2-u^2}}{\sqrt{1-x^2}}. $

Podstawiając powyższe wartości pola $ABC$ i $h$ do wzoru (*) znajdujemy

$ V = \frac{2}{3} xy \sqrt{1 - x^2-y^2}, $

zatem

$ V^2 = \frac{4}{9} x^2y^2 (1-x^2-y^2). $

Ponieważ suma czynników $x^2$ , $y^2$ , $1 - x^2 - y^2$ iloczynu $x^2y^2(1 - x^2 - y^2)$ jest stała, a mianowicie jest równa $1$ , więc ten iloczyn jest największy wtedy, gdy te czynniki są równe, tj. gdy $x^2 = y^2 = 1 - x^2 - y^2= \frac{1}{3}$ . Zatem

$ V^2 \leq \frac{4}{9} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^3. $

Stąd

$ V \leq \frac{2\sqrt{3}}{27}. $