XIX OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

XIX OM, 1967-1968

Etap:

Dowieść, że jeżeli $a_1, a_2, \ldots, a_n$ oznaczają liczby $1, 2, \ldots, n$ ustawione w dowolnym porządku, a $n$ jest liczbą nieparzystą, to liczba $N = (a_1 - 1)(a_2 - 2) \ldots (a_n - n)$ jest parzysta.

Rozwiązanie

Gdyby iloczyn $N$ był liczbą nieparzystą, to każdy z jego $n$ czynników $a_1 - 1, a_2 - 2, \ldots, a_n - n$ byłby też liczbą nieparzystą. Przy nieparzystym $n$ suma tych czynników byłaby liczbą nieparzystą, co nie jest prawdą, gdyż

$<br /> (a_1 - 1) + (a_2 - 2) + \ldots + (a_n - n) = (a_1 + a_2 + \ldots + a_n) -(1 +2 + \ldots + n) = 0.<br />$