XIX OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XIX OM, 1967-1968

Etap:

Dowieść, że wielomian $W$ zmiennej $x$ określony wzorem

$ (1) \qquad W(x)=(x - a)^2 (x - b)^2 + l, $

gdzie $a$ i $b$ oznaczają liczby całkowite, nie jest iloczynem dwóch wielomianów zmiennej $x$ stopnia dodatniego mających współczynniki całkowite.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że twierdzenie, które mamy udowodnić, nie jest prawdziwe, tj. że dla każdego $x$

$ (2) \qquad (x-a)^2(x-b)^2+1 = P(x)Q(x), $

gdzie $P(x)$ i $Q(x)$ są wielomianami stopnia dodatniego o współczynnikach całkowitych. Lewa strona wzoru (2) jest dla każdego $x$ dodatnia, więc wielomian $P(x)$ i tak samo wielomian $Q(x)$ nie ma pierwiastków (rzeczywistych), nie może być zatem stopnia nieparzystego, a ponieważ stopień $P(x)$ + stopień $Q(x)$ = stopień $P(x) \cdot Q(x) = 4$ , więc $P(x)$ i $Q(x)$ są wielomianami stopnia drugiego o wyróżnikach ujemnych. Jeśli najwyższymi wyrazami wielomianów $P(x)$ i $Q(x)$ są odpowiednio $kx^2$ i $lx^2$ ( $k$ , $l$ - licżby całkowite), to iloczyn $kx^2 \cdot lx^2$ równa się najwyższemu wyrazowi $x^4$ lewej strony wzoru (2) więc $kl = 1$ , zatem $k = l=1$ lub $k = l = - 1$ . Drugi z tych przypadków możemy sprowadzić do pierwszego zastępując wielomiany $P(x)$ i $Q(x)$ odpowiednio wielomianami $- P(x)$ i $- Q(x)$ . Założenie (2) jest zatem równoważne założeniu

$ (3) \qquad (x - a)^2(x - b)^2+ 1 = (x^2 + mx + n)(x^2 +px+q) $

dla każdego $x$ , gdzie liczby $m$ , $n$ , $p$ , $q$ są całkowite, a trójmiany $x^2 + mx + n$ i $x^2 + px+ q$ są dla każdego $x$ dodatnie. Wykażemy, że założenie to prowadzi do sprzeczności: .

Przekształćmy równość (3) podstawiając $x = y + a$ :

$ \begin{split} y^2(y + a - b)^2 + 1 = [(y + a)^2 + m(y + a) + n] [(y + a)^2 + p(y + a) + q] = \\ = [y^2 + (2a +m)y + a^2 + ma + n] [y^2 + (2a + p)y + a^2+pa+ q]. \end{split} $

Wprowadzając oznaczenia $a - b = c$ , $2a + m = r$ , $a^2 + ma + n = s$ , $2a + p = t$ , $a^2 + pa + q = u$ otrzymujemy stąd dla każdego $y$ równość

$ (4) \qquad y^2(y + c)^2+1= (y^2 + ry + s)(y^2 + ty + u), $

gdzie liczby $c$ , $r$ , $s$ , $t$ , $u$ są według założenia (3) całkowite, a przy tym liczby $s$ i $u$ są dodatnie.

Porównując współczynniki przy jednakowych potęgach $y$ po obu stronach równości (4) otrzymujemy

$ (5) \qquad r + t = 2c $

$ (6) \qquad s + u + rt = c^2 $

$ (7) \qquad ru + st = 0. $

$ (8) \qquad su=1. $

Ponieważ liczby $s$ i $u$ są całkowite i dodatnie, więc z (8) wynika, że $s = u = 1$ , wobec czego na mocy (7) i (5) $r + t = 0$ , $c = 0$ , zatem według (6) $2 - r^2 = 0$ , co nie jest prawdą, gdyż $r$ jest liczbą całkowitą. Zatem rozkład (3) nie istnieje.