XIX OM - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

XIX OM, 1967-1968

Etap:

Na płaszczyźnie dany jest wielokąt, którego wszystkie kąty są równe. Dowieść, że suma odległości dowolnego punktu leżącego w wielokącie od prostych zawierających boki wielokąta jest stała.

Rozwiązanie

Dla wielokąta foremnego teza twierdzenia jest prawdziwa. Istotnie, odległość $x_i$ punktu $P$ wielokąta $A_1A_2\ldots A_n$ od prostej $A_iA_{i+1}$ (rys.7) jest równa ilorazowi podwojonego pola $S_i$ trójkąta $A_iP A_{i+1}$ *) przez długość boku $A_iA_{i+1}$ wielokąta. Gdy wszystkie boki mają tę samą długość a, to

$<br /> \sum_{i=1}^n x_i = \sum_{i=1}^n \frac{2S_i}{a} = \frac{2}{a} \sum_{i=1}^n S_i = \frac{2}{a} \cdot S,<br />$

gdzie $S$ oznacza pole wielokąta.

Niech $W$ będzie dowolnym wielokątem o równych kątach, a punkty $A_1, A_2, \ldots,A_n$ - jego wierzchołkami. Wielokąt $W$ jest wypukły, gdyż w wielokącie niewypukłym kąty wklęsłe są większe od wypukłych. Można wyznaczyć taki wielokąt foremny $W_1$ o wierzchołkach $B_1, B_2,\ldots, B_n$ zawierający w swym wnętrzu wielokąt $W$ , że dla każdego $i$ bok $B_iB_{i+1}$ wielokąta $W_1$ jest równoległy do boku $A_iA_{i+1}$ wielokąta $W$ i leży po przeciwnej stronie prostej $A_iA_{i+1}$ niż wielokąt $W$ . Aby taki wielokąt skonstruować, wystarczy wykreślić dowolny okrąg zawierający wielokąt $W$ i opisać na nim wielokąt foremny $W_1$ o $n$ bokach obierając jego pierwszy bok $B_1B_2$ na tej stycznej do okręgu równoległej do prostej $A_1A_2$ , która leży po przeciwnej stronie prostej $A_1A_2$ niż wielokąt $W$ (rys. 8).

Z założenia równości kątów wielokąta $W$ wynika, że jego kąty są równe kątom wielokąta $W_1$ , np. $\measuredangle B_1B_2B_3 = \measuredangle A_1A_2A_3$ , wobec czego bok $B_2B_3$ jest równoległy do prostej $A_2A_3$ i leży na zewnątrz kąta wypukłego $A_1A_2A_3$ , a więc po przeciwnej stronie prostej $A_2A_3$ niż wielokąt $W$ . W ten sam sposób stwierdzamy kolejno, że każdy z pozostałych boków wielokąta $W_1$ ; a tym samym cały wielokąt $W_1$ spełnia postawiony mu warunek.

Niech $x_i$ oznacza odległość punktu $P$ wielokąta $W$ od prostej $A_iA_{i+1}$ , $y_i$ - odległość punktu $P$ od prostej $B_iB_{i+1}$ , a $d_1$ - odległość prostych $A_iA_{i+1}$ i $B_iB_{i+1}$ , gdzie $i= 1,2\ldots,n$ , przy czym $A_{n+1} = A_1 B_{n+1} = B_1$ . Wówczas $x_i = y_i - d_i$ , zatem

$<br /> \sum_{i=1}^n x_i = \sum_{i=1}^n y_i - \sum_{i=1}^n d_i.<br />$

Ponieważ $\sum_{i=1}^n y_i$ i tak samo $\sum_{i=1}^n d_i$ ma dla każdego punktu $P$ wielokąta $W$ tę samą wartość, więc to samo dotyczy sumy $\sum_{i=1}^n x_i$ , c.n.d.