XIX OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XIX OM, 1967-1968

Etap:

Dowieść, że wielomian zmiennej $x$ o współczynnikach całkowitych, którego wartość bezwzględna dla trzech różnych wartości całkowitych $x$ równa się 1, nie ma pierwiastków całkowitych.

Rozwiązanie

Załóżmy, że $f(x)$ jest wielomianem zmiennej $x$ o współczynnikach całkowitych i że

$ (1) \qquad |f(a)| = |f(b)| = |f(c)| = 1, $

gdzie $a$ , $b$ , $c$ są trzema różnymi liczbami całkowitymi.

Przypuśćmy, że $x_0$ jest pierwiastkiem całkowitym wielomianu $f(x)$ , wobec czego dla każdego $x$

$ (2) \qquad f(x) = (x - x_0)\varphi (x), $

gdzie $\varphi (x)$ jest wielomianem o współczynnikach całkowitych.

Z (1) i (2) wynika, że

$ | (a - x_0) \varphi (a)| =|a - x_0| \cdot |\varphi (a)|= 1. $

Liczba $|a - x_0|$ jest całkowita, dodatnia i jest dzielnikiem jedności, zatem $|a - x_0| = 1$ ; tak samo stwierdzamy, że $|b - x_0| = 1$ , $|c - x_0| = 1$ .

Wynika stąd, że któreś dwie z liczb $a - x_0$ , $b - x_0$ , $c - x_0$ , więc również któreś dwie z liczb $a$ , $b$ , $c$ są równe, co przeczy założeniu. Wielomian $f(x)$ nie ma więc pierwiastka całkowitego, c.n.d.

Uwaga. W rozumowaniu powyższym powoływaliśmy się na to, że współczynniki wielomianu $\varphi (x)$ są całkowite. Łatwo to wykazać.

Niech

$ f(x) = a_0 x^n+ a_1 x^{n-1} + \ldots + a_{n-1}x + a_n, $

$ \varphi(x) = c_0 x^{n-1} + c_1 x^{n-2} + \ldots + c_{n-2}x - c_{n-1}. $

Z równości $f(x) = (x - x_0) \varphi (x)$ otrzymujemy przez porównanie współczynników obu stron

$ a_0 = c_0,\ a_k = c_k - x_0 c_{k-1} \ (k = 1,2, \ldots, n- 1) $

zatem

$ c_0 = a_0,\ c_k = a_k + x_0 c_{k-1}. $

Stąd wynika, że liczba $c_0$ jest całkowita, gdy zaś $c_{k-1}$ jest całkowite ( $k = 1,2, \ldots, n - 1$ ), wtedy również $c_k$ jest całkowite. Zatem liczby $c_0, c_1, \ldots, c_{n_-1}$ są całkowite.