XIX OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XIX OM, 1967-1968

Etap:

Dany jest okrąg $k$ i wewnątrz niego punkt $H$ . Wpisać w okrąg taki trójkąt, żeby punkt $H$ był punktem przecięcia wysokości trójkąta.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że poszukiwanym trójkątem jest trójkąt $ABC$ (rys. 11).

Ponieważ według założenia punkt $H$ znajduje się wewnątrz okręgu $k$ , więc trójkąt $ABC$ jest ostrokątny i punkt $H$ leży wewnątrz trójkąta $ABC$ . Nazwijmy $H'$ drugi punkt przecięcia prostej $AH$ z okręgiem $k$ ; leży on po przeciwnej stronie prostej $BC$ niż punkty $A$ i $H$ . Zauważmy, że punkty $H$ i $H'$ są symetryczne względem prostej $BC$ . Istotnie, proste $HH'$ i $BC$ są prostopadłe, a $\measuredangle HCB = \measuredangle H'CB$ , gdyż $\measuredangle H'CB = \measuredangle H'AB$ , bo są to kąty wpisane w ten sam łuk $H'CAB$ okręgu $k$ , a $\measuredangle H'AB = 90^\circ - \measuredangle ABC = \measuredangle HCB$ .

Stąd wysnuwamy następującą konstrukcję trójkąta $ABC$ (rys. 12).

Obieramy na okręgu $k$ dowolny punkt $A$ , wyznaczamy drugi punkt przecięcia $H'$ prostej $AH$ z okręgiem $k$ . Prowadzimy symetralną odcinka $HH'$ , która przecina okrąg w punktach $B$ i $C$ . Trójkąt $ABC$ spełnia warunek zadania, tzn. punktem przecięcia wysokości trójkąta $ABC$ jest punkt $H$ .

W rzeczy samej, oznaczając literami $K$ i $M$ odpowiednio punkty przecięcia prostych $AH$ i $CH$ z prostymi $BC$ i $AB$ stwierdzamy, że

$\measuredangle H'CB = \measuredangle H'AB$ (kąty wpisane w łuk $H'CAB$ okręgu $k$ ),

$\measuredangle H'CB = \measuredangle MCB$ (kąty symetryczne względem prostej $BC$ ),

zatem

$<br /> \measuredangle MCB = \measuredangle H'AB,<br />$

stąd zaś wynika, że trójkąty $MCB$ i $KAB$ o wspólnym kącie przy wierzchołku $B$ są podobne, więc $\measuredangle CMB = \measuredangle AKB = 90^\circ$ , tzn. $CM$ jest wysokością trójkąta $ABC$ , c.n.d.