Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XIX OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XIX OM, 1967-1968

Etap:

II

Dowieść, że jeżeli liczby $a, b, c$ , są długościami boków trójkąta, a suma liczb $x, y, z$ jest równa zeru, to

$<br /> (1) \qquad a^2yz + b^2zx + c^2xy \leq 0.<br />$

Rozwiązanie

Niech $U$ oznacza lewą stronę nierówności (1). Ponieważ $x + y + z = 0$ , więc $z = - (x + y)$ , zatem

$<br /> U = -a^2y (x + y) - b^2x (x + y) + c^2xy,<br />$

czyli

$<br /> (2) \qquad U = (c^2 - a^2 - b^2) xy - a^2b^2 - b^2x^2.<br />$

Liczby $a$ , $b$ , $c$ , spełniają nierówność

$<br /> |a - b| < c < a + b.<br />$

Stąd

$<br /> (a- b)^2 < c^2 < (a+b)^2,<br />$

więc

$<br /> (3) \qquad - 2ab < c^2 -a^2-b^2 < 2ab.<br />$

Jeżeli $xy > 0$ , to z (3) wynika, że

$<br /> (c^2 - a^2 - b^2)xy < 2abxy,<br />$

wobec czego z (2) otrzymujemy

$<br /> U < 2abxy - a^2y^2 - b^2x^2 = - (ay - bx)^2 \leq 0.<br />$

Jeżeli $xy < 0$ , to na mocy (3)

$<br /> - 2abxy > (c^2 - a^2 - b^2)xy.<br />$

Zatem z (2) wynika, że

$<br /> U < -2abxy - a^2y^2 - b^2x^2 = - (ay + bx)^2 \leq 0.<br />$

Jeżeli wreszcie $xy = 0$ , to z (2) otrzymujemy

$<br /> U = - a^2y^2 - b^2x^2 \leq 0.<br />$

We wszystkich przypadkach $U \leq 0$ , c.n.d.

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/1293