XIX OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XIX OM, 1967-1968

Etap:

Czworościany $ABCD$ i $A_1B_1C_1D_1$ są tak położone, że środki odcinków $AA_1$ , $BB_1$ , $CC_1$ , $DD_1$ są odpowiednio środkami ciężkości trójkątów $BCD$ , $ACD$ , $ABD$ i $ABC$ . W jakim stosunku są objętości tych czworościanów?

Rozwiązanie

Niech $M$ oznacza środek ciężkości trójkąta $BCD$ , a $S$ - środek ciężkości czworościanu $ABCD$ . Punkt $S$ leży na odcinku $AM$ i $SA = 3 SM$ . Punkt $A_1$ leży na przedłużeniu odcinka $AM$ i $AM = MA_1$ (rys. 14). Zatem punkt $S$ leży na odcinku $AA_1$ i dzieli go w stosunku

$<br /> \frac{SA_1}{SA} = \frac{SM + MA_1}{SA} = \frac{SM + AM}{SA} = \frac{SM + 4SM}{3SM} = \frac{5}{3}.<br />$

Tak samo stwierdzamy, że punkt $S$ dzieli każdy z odcinków $BB_1$ , $CC_1$ , $DD_1$ w stosunku $\frac{5}{3}$ . Czworościany $A_1B_1C_1D_1$ i $ABCD$ są zatem jednokładne w stosunku $\frac{5}{3}$ względem środka $S$ , wobec czego objętości tych czworościanów są w stosunku $\left( \frac{5}{3} \right)^2$ .