XIX OM - III - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XIX OM, 1967-1968

Etap:

III

Dowieść, że dla każdego naturalnego $n$

$ (1) \quad \frac{1}{3} + \frac{2}{3\cdot 5} + \frac{3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \ldost + \frac{n}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (2n+1)} < \frac{1}{2}. $

Rozwiązanie

Wprowadźmy oznaczenie

$ a_k = \frac{k}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (2k + 1)}. $

Zauważmy, że

$ \frac{1}{2} - a_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2 \cdot 3},\ \frac{1}{2} (a_1+a_2) = \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{3} + \frac{2}{3 \cdot 5} \right) = \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 5}. $

Nasuwa się przypuszczenie, że dla każdego naturalnego $n$

$ (2) \qquad \frac{1}{2} - (a_1 + a_2 + \ldots + a_n) = \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n+1)}. $

Równość (2) łatwo udowodnić metodą indukcji. Z założenia, że równość (2) zachodzi, gdy $n$ równa się pewnej liczbie naturalnej $k$ wynika, że

$ \begin{split} \frac{1}{2} - (a_1 + a_2 &+ \ldots + a_k + a_{k+1}) =\\ &= \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2k+1)}- \frac{k+1}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (2k+3)} =\\ &=\frac{2k + 3 - 2(k+1)}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2k+3)}= \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2k+3)}, \end{split} $

tzn., że równość (2) zachodzi także, gdy $n = k + 1$ . Stąd oraz z tego, że równość (2) jest prawdziwa, gdy $n = 1$ , wnioskujemy, że jest ona prawdziwa dla każdego naturalnego $n$ .

Z (2) wynika, że

$ a_1 + a_2+ \ldots +a_n < \frac{1}{2} $

dla każdego naturalnego $n$ , c.n.d.

Uwaga. Dowód nierówności (1) można również oprzeć na tym, że

$ (3) \qquad \begin{split} \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2k-1)} - \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2k+1)} =\\ =\frac{2k}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2k+1)} = 2 a_k. \end{split} $

Dodając stronami równości (3) dla wartości $k$ od $1$ do $n$ otrzymujemy

$ (4) \qquad 2 \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2k-1)} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2k+1)} . $

Zauważmy, że po prawej stronie równości (4) kolejne wyrazy pierwszej sumy począwszy od drugiego aż do $n$ -go są odpowiednio równe kolejnym wyrazom drugiej sumy od pierwszego do $(n - 1)$ -go; po redukcji równość (4) otrzymuje postać