XIX OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XIX OM, 1967-1968

Etap:

III

W czworościanie $ABCD$ krawędzie $AD$ , $BD$ , $CD$ są równe. Na płaszczyźnie $ABC$ obrano punkty niewspółliniowe $A_1, B_1, C_1$ Proste $DA_1, DB_1, DC_1$ przecinają powierzchnię kuli opisanej na czworościanie odpowiednio w punktach $A_2, B_2, C_2$ , różnych od punktu $D$ . Udowodnić, że punkty $A_1, B_1, C_1, A_2, B_2, C_2$ leżą na powierzchni pewnej kuli.

Rozwiązanie

Sfera (tj. powierzchnia kuli) $S$ opisana na czworościanie $ABCD$ przecina płaszczyznę $ABC$ wzdłuż okręgu $k$ opisanego na trójkącie $ABC$ . Z równości $DA = DB = DC$ wynika, że sfera $t$ o środku $D$ i promieniu $r = DA$ przechodzi przez punkty $B$ i $C$ , więc przecina sferę $s$ i płaszczyznę $ABC$ wzdłuż tego samego okręgu $k$ . Wobec tego rzut prostokątny $H$ punktu $D$ na płaszczyznę $ABC$ jest środkiem okręgu $k$ . Płaszczyzna $A_1HD$ zawiera zatem pewną średnicę $MN$ okręgu $k$ i przecina sferę $s$ wzdłuż okręgu $l$ przechodzącego przez punkty $M$ , $N$ i $D$ (rys. 16).

Według twierdzenia o potędze punktu względem okręgu

$ A_1 A_2 \cdot A_1D = A_1M \cdot A_1N. $

Stąd

$ (A_1 D - A_2D) \cdot A_1D = (A_1H- MH) (A_1H + MH) = A_1G^2 - MH^2, $

więc

$ A_1D \cdot A_2D = A_1D^2 - A_1H^2 + MH^2 = HD^2 + MH^2 = MD^2. $

Równość tę można zapisać w postaci

$ (1) \qquad DA_1 \cdot DA_2 = r^2. $

Analogicznie

$ (2) \qquad DB_1 \cdot DB_2 = r^2. $

Z (1) i (2) wynika

$ (3) \qquad DA_1 \cdot DA_2 = DB_1 \cdot DB_2. $

Z równości (3) oraz z tego, że pary punktów $A_1$ , $A_2$ , i $B_1$ , $B_2$ leżą na dwóch różnych półprostych o początku $D$ nie tworzących jednej prostej, łatwo wywnioskować, że punkty $A_1$ , $A_2$ , $B_1$ , $B_2$ , leżą na okręgu.

Istotnie, niech $m$ będzie okręgiem przechodzącym przez punkty niewspółliniowe $A_1$ , $A_2$ , $B_1$ (rys. 17).

Punkt $D$ leży na zewnątrz okręgu $m$ , zatem

$ (4) \qquad DA_1 \cdot DA_2 = DB_1 \cdot DX, $

gdzie $X$ jest punktem wspólnym okręgu $m$ z półprostą $DB_1$ .

Z (3) i (4) otrzymujemy

$ DX = DB_2, $

a ponieważ punkty $X$ i $B_2$ należą do tej samej półprostej o początku $D$ , więc punkt $X$ pokrywa się z punktem $B_2$ .

Analogicznie stwierdzamy, że punkty $B_1$ , $B_2$ , $C_1$ , $C_2$ leżą na pewnym okręgu $n$ .

Okręgi $m$ i $n$ mają punkty wspólne $B_1$ i $B_2$ , a przy tym leżą w rożnych płaszczyznach, gdyż według założenia punkty wspólne tych okręgów z płaszczyzną $ABC$ , tj. punkty $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ nie są współliniowe.

Stąd wynika, że okręgi $m$ i $n$ , a tym samym punkty $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ , $A_2$ , $B_2$ , $C_2$ leżą na jednej sferze, c.n.d.

Uwaga. Początek powyższego dowodu można znacznie skrócić, powołując się na własności przekształcenia przez inwersję. Mianowicie w inwersji względem sfery o środku $D$ i promieniu $r = DA$ przecinającej płaszczyznę $ABC$ wzdłuż okręgu $k$ obrazem płaszczyzny $ABC$ jest sfera przechodząca przez środek inwersji $D$ i przez okrąg $k$ , tj. sfera $s$ . Obrazami punktów $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ są zatem odpowiednio punkty $A_2$ , $B_2$ , $C_2$ , wobec czego

$ DA_1 \cdot DA_2 = DB_1 \cdot DB_2 = DC_1 \cdot DC_2 = r^2. $

Dalszy ciąg dowodu pozostaje ten sam co poprzednio.