Dany jest trójkąt 
, w którym 
. Na półprostych
i 
obrano odpowiednio takie punkty 
i 
leżące poza bokami
trójkąta, że
![\[<br />
(1)\qquad 4\cdot BK \cdot CL = BC^2.<br />
\]](/files/tex/4b6bd7b0d63355feb19d7e9ee107406cca95ebbf.png) |
Punkt 
jest środkiem boku 
. Proste 
i 
przecinają
po raz drugi okrąg opisany na trójkącie 
odpowiednio
w punktach 
i 
. Wykazać, że proste 
i są równoległe.
Na mocy zależności (1) mamy (rys. 3)
![\[<br />
(2) \qquad \frac{BM}{BK} = \frac{BC}{2\cdot BK} = \frac{2\cdot CL}{BC}<br />
= \frac{CL}{CM}<br />
\]](/files/tex/adbe3a54a5ad0c63e42e557a946715954184c2f7.png) |
Ponadto z założeń zadania wynika, że trójkąt 
jest
równoramienny, skąd uzyskujemy równość kątów 
.
Wraz z warunkiem (2) oznacza to, że trójkąty 
i 
są
podobne (cecha bok-kąt-bok). Korzystając z tego podobieństwa
otrzymujemy
![\[<br />
(3) \qquad \measuredangle KML=180^{\circ}-\measuredangle BMK-\measuredangle LMC =180?-\measuredangle BMK-\measuredangle MKB =\measuredangle KBM<br />
\]](/files/tex/4c48133d042be31a4247495b8ea800f4d50dda32.png) |
oraz
![\[<br />
(4) \qquad \frac{KM}{ML} = \frac{KB}{MC} = \frac{KB}{BM}<br />
\]](/files/tex/888e7a054a730ae3f33a8068ac055e0601c6addd.png) |
Zależności (3) i (4) dowodzą, że trójkąty 
i są podobne
(cecha bok-kąt-bok), co implikuje równość
![\[<br />
(5) \qquad \measuredangle BMK = \measuredangle MLK.<br />
\]](/files/tex/f1928672322e744c3910477fa7cde48f5ea5d8d6.png) |
Z drugiej strony równość kątów wpisanych opartych na tym samym
łuku daje
![\[<br />
(6) \qquad \measuredangle MLK = \measuredangle QLK = \measuredangle QPK.<br />
\]](/files/tex/c61704a2b4e2f53efa19cf702ef5de670ce60c19.png) |
Łącząc zależności (5) i (6) stwierdzamy, że 
,
skąd wprost wynika równoległość prostych i .