XVIII ZMPB - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

XVIII ZMPB, 2007

Potworek składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku $1$ , jak pokazuje rysunek.

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite $n$ , dla których trójkąt równoboczny o boku $n$ można podzielić na potworki (obroty i odbicia potworków są dopuszczalne; potworki nie mogą na siebie zachodzić).

Rozwiązanie

Podzielmy trójkąt równoboczny o boku $n$ na $n^2$ trójkątów równobocznych o boku $1$ . Wówczas każdy potworek musi pokrywać dokładnie 6 takich trójkątów. Zatem warunkiem koniecznym istnienia podziału wyjściowego trójkąta na potworki jest podzielność $6\,|\,n^2$ , czyli podzielność $6\,|\,n$ .

Przyjmijmy teraz, że $n$ jest liczbą podzielną przez 6, ale niepodzielną przez 12; zatem $n=12k+6$ dla pewnej liczby całkowitej $k\ge 0$ . Pomalujmy każdy trójkąt równoboczny o boku 1 na biało albo czarno tak, by dwa trójkąty mające wspólny bok miały różne kolory oraz by trójkąty mające bok na brzegu wyjściowego trójkąta o boku $n$ były czarne (rys. 1).

Nietrudno spostrzec, że liczba czarnych trójkątów wynosi wówczas

$<br /> 1+2+\ldots+n={n(n+1)\over 2}={(12k+6)(12k+7)\over 2}=(6k+3)(12k+7),<br />$

jest zatem liczbą nieparzystą. Z drugiej strony, każdy potworek zawiera 2 albo 4 czarne trójkąty (rys. 2). To oznacza, że żądany podział nie jest możliwy.

Pozostaje do rozpatrzenia przypadek, gdy $12\,|\,n$ . Wykażemy, że wtedy istnieje postulowany podział na potworki. Ponieważ trójkąt równoboczny o boku $n=12k$ można podzielić na $k^2$ trójkątów równobocznych o boku 12, więc wystarczy wskazać podział trójkąta równobocznego o boku 12 na potworki. Taki podział wskazany jest na rys. 3.

Odpowiedź: Trójkąt równoboczny o boku $n$ można podzielić na potworki wtedy i tylko wtedy, gdy liczba $n$ jest podzielna przez 12.