XVIII OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XVIII OM, 1966-1967

Etap:

Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie

$ (1)\qquad x^2 + y^2 + z^2 = 2xyz. $

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby całkowite $x$ , $y$ , $z$ spełniają równanie (1). Jeśli któraś z liczb $x$ , $y$ , $z$ nie jest zerem, to istnieje liczba całkowita $d \geq 1$ będąca ich największym wspólnym dzielnikiem, tzn.

$ x = ud,\ y = vd,\ z = wd, $

gdzie $u$ , $v$ , $w$ są liczbami całkowitymi, których największym wspólnym dzielnikiem jest liczba $1$ . Na mocy równości (1)

$ u^2d^2 + v^2d^2 + w^2d^2 = 2uvwd^3, $

skąd po podzieleniu przez $d^2$ otrzymujemy równość

$ (2) \qquad u^2 + v^2 + w^2 = 2uvwd. $

Prawa strona równości (2) jest liczbą parzystą, zatem lewa strona jest także liczbą parzystą, a ponieważ według założenia liczby $u$ , $v$ , $w$ nie mogą być wszystkie parzyste, zatem jedna z nich jest parzysta, a dwie inne - nieparzyste. Możemy przyjąć, że np.

$ u = 2k,\ v = 2m+1, \ w = 2n+1. $

Podstawiając te wartości do równości (2) otrzymujemy

$ (3) \qquad 4(k^2 + m^2 + n^2 + m + n) + 2 = 4dk(2m+2)(2n+2). $

Równość (3) jest fałszywa, gdyż prawa jej strona jest podzielna przez $4$ ; a lewa - nie.

Wnioskujemy stąd, że jeżeli liczby całkowite $x$ , $y$ , $z$ spełniają równanie (1), to $x = y = z = 0$ .

Trójka $(0, 0, 0)$ spełnia istotnie równanie (1), więc jest to jego jedyne rozwiązanie w liczbach całkowitych.

Uwaga. Rozwiązanie zadania można ująć nieco inaczej. Przypuśćmy, jak poprzednio, że trójka liczb całkowitych $(x, y, z)$ jest rozwiązaniem równania (1). Jeżeli $xyz = 0$ , to na mocy (1) również $x^2+y^2+z^2 = 0$ , zatem $x = y = z = 0$ . Jeżeli $xyz \ne 0$ , to istnieją takie liczby całkowite nieujemne $k$ , $m$ , $n$ , że

$ x = 2^ku, \ y = 2^mv, \ z = 2^nw, $

gdzie liczby $u$ , $v$ , $w$ są nieparzyste. Możemy przyjąć, że np. $k \leq m \leq n$ . Po podstawieniu tych wartości do równania (1) otrzymujemy

$ 2^{2k} u^2 + 2^{2m} v^2 + 2^{2n} w^2 = 2^{k+n+m+1} uvw, $

a po podzieleniu przez $2^{2k}$

$ (4) \qquad u^2 + 2^{2(m-k)} v^2 + 2^{2(n-k)} w^2 = 2^{m-k+n+1} uvw. $

Równość (4) jest fałszywa, gdyż

a) jeżeli $k = m = n$ lub jeżeli $k \ne m$ , $k \ne n$ , lewa strona równości (4) jest liczbą nieparzystą, a prawa - parzystą;

b) jeżeli $k = m$ , $k \ne n$ , prawa strona (4) jest podzielna przez $4$ , a lewa nie. Zatem $(0,0,0)$ jest jedynym rozwiązaniem równania (4) w liczbach całkowitych.