Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XVIII OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XVIII OM, 1966-1967

Etap:

I

W czworokącie wypukłym $ABCD$ połączono odcinkami środek M boku AB z wierzchołkami $C$ i $D$ , a środek $N$ boku $CD$ z wierzchołkami $A$ i $B$ . Odcinki $AN$ i $DM$ przecinają się w punkcie $P$ , a odcinki $BN$ i $CM$ w punkcie $Q$ . Dowieść, że pole czworokąta $MQNP$ równa się sumie pól trójkątów $APD$ i $CQB$ .

Rozwiązanie

Pole wielokąta $ABC\ldots$ oznaczać będziemy symbolem $(ABC\ldots)$ . Stwierdzamy, że (rys. 1)

$<br /> AM = MB \Longrightarrow (AMC) = (MBC),<br />$

$<br /> CN = ND \Longrightarrow (CNA) = (NDA).<br />$

Stąd

$<br /> (AMC) + (CNA) = (MBC)+(NDA),<br />$

zatem

$<br /> (1) \qquad (AMCN) = (MBC) + (NDA).<br />$

Lecz

$<br /> (2) \qquad (ABCD) = (AMCN) + (MBC) + (NDA),<br />$

a z (1) i (2) wynika, że

$<br /> (3) \qquad (AMCN) = \frac{1}{2} (ABCD).<br />$

Analogicznie

$<br /> (4) \qquad (MBND) = \frac{1}{2} (ABCD).<br />$

Otóż

$<br /> (5) \qquad (APD) + (CQB) = (ABCD) - (AMCN) - (MBND) + (MQNP).<br />$

Z (3), (4) i (5) otrzymujemy

$<br /> (APD) + (CQB) = (MQNP),\ \textrm{c.n.d.}<br />$

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/1308