XVIII OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XVIII OM, 1966-1967

Etap:

W okrąg o środku $O$ wpisano trójkąt $ABC$ i wyznaczono punkty $A_1$ i $B_1$ odpowiednio symetryczne, do wierzchołków $A$ i $B$ względem punktu $O$ oraz punkt $P$ , w którym prosta przechodząca przez punkt $A_1$ i środek $M$ boku $BC$ przecina się z prostą poprowadzoną przez punkt $B_1$ i środek $N$ boku $AC$ .
Dowieść, że środek ciężkości $S$ trójkąta $ABC$ leży na odcinku $PO$ i dzieli go w stosunku $2:1$ .

Rozwiązanie

Ponieważ $M$ i $N$ są środkami boków $BC$ i $AC$ , więc $MN \parallel AB$ i $MN = \frac{1}{2} AB$ , zatem również $MN \parallel A_1B_1$ i $MN = \frac{1}{2} A_1B_1$ , gdyż odcinki $AB$ i $A_1B_1$ są symetryczne względem $O$ , więc są równolegle i równe (rys. 2). Wobec tego w trójkącie $A_1B_1P$ końce $M$ i $N$ odcinka $MN$ są środkami boków $A_1P$ i $B_1P$ . Stąd wynika dalej, że $AM$ jest środkową w trójkącie $AA_1P$ . Ponieważ punkt $S$ jest środkiem ciężkości trójkąta $ABC$ , więc $AS \colon SM = 2 \colon 1$ , wobec tego $S$ jest również środkiem ciężkości trójkąta $AA_1P$ , zatem leży na środkowej $PO$ tego trójkąta i dzieli ją w stosunku $PS \colon SO = 2 \colon 1$ .