Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XVIII OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XVIII OM, 1966-1967

Etap:

I

Znaleźć takie liczby naturalne $p$ i $q$ , żeby pierwiastki równań $x^2-qx+p = 0$ i $x^2-px+q = 0$ były liczbami naturalnymi.

Rozwiązanie

Niech $x_1$ , $x_2$ oraz $y_1$ , $y_2$ oznaczają odpowiednio pierwiastki danych równań. Wówczas zachodzą równości:

$<br /> (1) \qquad x_1 + x_2 = q, \ x_1x_2=p,<br />$

$<br /> (2) \qquad y_1 + y_2 = p,\ y_1y_2 = q.<br />$

Z równości (1) i (2) wynika, że

$<br /> x_1x_2 + y_1y_2 = x_1 + x_2 + y_1 + y_2.<br />$

Stąd

$<br /> (x_1-1)(x_2-1) + (y_1-1)(y_2-1) = 2.<br />$

Ponieważ każda z liczb $x_1-1$ , $x_2-1$ , $y_1-1$ , $y_2-1$ jest $\geq 0$ , więc zachodzi jeden z przypadków

a) $(x_1-1)(x_2-1) = 1,\ (y_1-1)(y_2-1) = 1;$

wówczas $x_1-1 =x_2-1 = 1$ , więc $x_1 = x_2 = 2$ , a stąd $p = q = 4$ .

b) $(x_1-1)(x_2-1) = 2,\ (y_1-1)(y_2-1) = 1;$

wtedy $x_1-1 = 1$ , $x_2-1 = 2$ lub $x_1-1 = 2$ , $x_2-1 = 1$ , tzn. $x_1 = 2$ , $x_2 = 3$ lub $x_1 = 3$ , $x_2 = 2$ .

Stąd $p = 6$ , $q = 5$ .

c) $(x_1-1)(x_2-1) = 0, \ (y_1-1)(y_2-1) = 2;$

podobnie jak w b) otrzymujemy $y_1 = 2$ , $y_2 = 3$ lub $y_1 = 3$ , $y_2 = 2$ , a stąd $p = 5$ , $q = 6$ .

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/1310