XVIII OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XVIII OM, 1966-1967

Etap:

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $a, b, c, d$ spełniają równania

$ \begin{split} a^2 + b^2 &= cd,\\ c^2 + d^2 &= ab \end{split} $

$ a = b = c = d = 0. $

Rozwiązanie

Z danych równości wynika, że

$ a^2+b^2+c^2+d^2-ab-cd = 0, $

zatem również

$ 2a^2+ 2b^2+ 2c^2+ 2d^2- 2ab - 2cd = 0, $

stąd

$ a^2+b^2+c^2+d^2+(a-b)^2 + (c-d)^2 = 0/ $

Każdy wyraz lewej strony tej równości jest $\geq 0$ , suma tych liczb jest zatem równa zeru tylko wtedy, gdy każda z nich jest zerem, tj. gdy $a = b = c = d = 0$ .