XVIII OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

XVIII OM, 1966-1967

Etap:

Na płaszczyźnie leży $2n$ punktów. Dowieść, że istnieje prosta nie przechodząca przez żaden z tych punktów i dzieląca płaszczyznę na półpłaszczyzny, z których każda zawiera $n$ spośród danych punktów. Sformułować i udowodnić analogiczne twierdzenie dla przestrzeni.

Rozwiązanie

Niech $A_1, A_2, \ldots, A_{2n}$ będą danymi punktami płaszczyzny i niech $a_{ik}$ ( $i, k = 1, 2, \ldots, 2n$ , $i \ne k$ ) oznacza prostą poprowadzoną przez punkty $A_i$ i $A_k$ . Zbiór $Z$ wszystkich prostych $a_{ik}$ zawiera co najwyżej $\binom{2n}{2} = n(2n-1)$ różnych prostych. Przez dowolnie obrany punkt $P$ płaszczyzny można zatem poprowadzić co najwyżej $n(2n- 1)$ prostych, z których każda jest prostopadła do jakiejś prostej zbioru $Z$ . Wobec tego przez punkt $P$ przechodzą również proste, które nie są prostopadłe do żadnej z prostych zbioru $Z$ . Niech $p$ będzie taką prostą i niech $A_i'$ będzie rzutem prostokątnym punktu $A_i$ na prostą $p$ , a $U$ - zbiorem, tych rzutów. Żadne dwa punkty $A_i'$ i $A_k'$ ( $i \ne k$ ) zbioru $U$ nie pokrywają się, gdyż prosta $A_iA_k$ nie jest prostopadła do prostej $p$ . Na prostej $p$ leży zatem $2n$ różnych punktów $A_i'$ . Możemy ich numerację tak ustalić, że w pewnym zwrocie prostej $p$ punkt $A_i'$ poprzedza punkt $A_{i+1}'$ . Środek $M$ odcinka $A_n'A_{n+1}'$ dzieli prostą $p$ na dwie półproste, z których każda zawiera $n$ punktów zbioru $U$ . Prostopadła do prostej $p$ poprowadzona przez punkt $M$ dzieli wobec tęgo płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny, z których każda zawiera $n$ punktów danego zbioru.

Analogiczne twierdzenie dla przestrzeni brzmi: Dla każdego zbioru $2n$ punktów przestrzeni istnieje taka płaszczyzna nie przechodząca przez żaden z punktów zbioru, że w każdej z wyznaczonych przez nią półprzestrzeni leży $n$
punktów danego zbioru.

Dowód może być poprowadzony zupełnie podobnie jak dla płaszczyzny.

Mianowicie przez dowolnie obrany punkt $P$ przestrzeni można poprowadzić taką płaszczyznę $\alpha$ , która nie jest prostopadła do żadnej z prostych zbioru $Z$ (zdefiniowanego analogicznie jak poprzednio dla płaszczyzny).

Rzuty prostokątne $A_i'$ danych punktów $A_i$ na płaszczyznę $\alpha$ tworzą zbiór $U$ zawierający $2n$ różnych punktów. Niech prosta $p$ płaszczyzny $\alpha$ nie przechodząca przez żaden punkt zbioru $U$ dzieli płaszczyznę $\alpha$ na takie półpłaszczyzny, z których każda zawiera $n$ punktów zbioru $U$ . Wówczas płaszczyzna $\pi$ poprowadzona przez prostą $p$ prostopadle do $\alpha$ jest płaszczyzną o żądanej własności.

Uwaga. W taki sam sposób można udowodnić twierdzenie ogólniejsze. Mianowicie zbiór $n$ punktów płaszczyzny (przestrzeni) można podzielić na $2$ części, z których jedna zawiera $k$ punktów, a druga $n - k$ punktów, prowadząc w płaszczyźnie (przestrzeni) prostą (płaszczyznę) nie zawierającą żadnego z tych punktów.