Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XVIII OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

XVIII OM, 1966-1967

Etap:

I

Dowieść, że jeżeli liczby $\alpha^2$ , $\beta^2$ , $\alpha\beta$ są wymierne, to istnieją takie liczby wymierne $k$ , $a$ i $b$ , że

$<br /> \alpha^2 = ka^2,\quad \beta^2 = kb^2,\quad \alpha\beta = kab.<br />$

Rozwiązanie

Gdy $\alpha \ne 0$ , $\beta \ne 0$ , to liczba $\frac{\alpha}{\beta}$ jest wymierna, gdyż jest ilorazem liczb wymiernych $\alpha^2$ i $\alpha \beta$ . Wówczas liczby $k = \beta^2$ , $a = \frac{\alpha}{\beta}$ i $b = 1$ spełniają warunek zadania.

Gdy $\alpha \ne 0$ , $\beta = 0$ , wówczas liczbami żądanymi są na przykład $k = \alpha^2$ , $a = 1$ , $b = 0$ .

Gdy $\alpha = 0$ , liczbami takimi są np. $a = 0$ , $k= \beta^2$ , $b = 1$ .

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/1314