XVIII OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XVIII OM, 1966-1967

Etap:

Trójka liczb całkowitych tworzy postęp geometryczny o ilorazie całkowitym. Gdy najmniejszą z nich zwiększymy o 9, powstanie postęp arytmetyczny. Jakie to liczby?

Rozwiązanie

Poszukiwana trójka liczb ma postać $(a, aq, aq^2)$ , gdzie $a$ i $q$ są liczbami całkowitymi różnymi od zera. Rozróżnimy dwa przypadki.

a) Najmniejszą z liczb tej trójki jest $a$ lub $aq^2$ . Nową trójką liczb jest wtedy $(a+9, aq, aq^2)$ lub $(a, aq, aq^2+9)$ ; warunek, aby to był postęp arytmetyczny, wyraża równość $2aq = aq^2+a+9$ , którą możemy napisać w postaci

$ a(q- 1)^2 = -9. $

Stąd wynika, że

$ a = - 1,\ (q- 1)^2 = 9,\textrm{ więc } q = 4 \textrm{ lub } q = -2, $

bądź też

$ a = - 9,\ (q- 1)^2 = 1,\textrm{ więc } q = 2. $

Otrzymujemy trójki liczb: $( - 1, -4, -16)$ , $( - 1, 2, -4)$ , $( - 9, -18, -36)$ ; stwierdzamy, że są one istotnie rozwiązaniami zadania.

b) Najmniejszą z liczb $a, aq, aq^2$ jest $aq$ . Nową trójkę tworzą wtedy liczby $a, aq+ 9, aq^2$ ; warunek, aby to był postęp arytmetyczny wyraża równość $2(aq+9) = aq^2+a$ , której nadamy postać