XVIII OM - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

XVIII OM, 1966-1967

Etap:

Dane są trzy okręgi o tym samym promieniu, przecinające się parami i mające jeden punkt wspólny. Dowieść, że pozostałe trzy punkty przecięcia okręgów leżą na okręgu o tymże promieniu.

Rozwiązanie

Wprowadzamy oznaczenia: $O_1, O_2, O_3$ - środki danych okręgów, $M$ punkt wspólny wszystkich trzech okręgów, $A_1, A_2, A_3$ różne od $M$ punkty przecięcia okręgów odpowiednio o środkach $O_2$ i $O_3$ , $O_3$ i $O_1$ , $O_1$ i $O_2$ (rys. 4).

Wszystkie boki czworokąta $O_1A_2O_3M$ są równe (jako promienie danych okręgów), czworokąt ten jest więc rombem. Stąd wynika, że wektory $\overrightarrow{O_1A_2}$ i $\overrightarrow{MO_3}$ są równe. Tak samo stwierdzamy, że $\overrightarrow{O_2A_1} = \overrightarrow{MO_3}$ , zatem $\overrightarrow{O_1A_2} = \overrightarrow{O_2A_1}$ . Czworokąt $O_1A_2A_1O_2$ jest wobec tego równoległobokiem, więc ma boki przeciwległe równe, $A_1A_2 = O_1O_2$ . Tak samo $A_2A_3 = O_2O_3$ i $A_3A_1 = O_3O_1$ , trójkąty $A_1A_2A_3$ i $O_1O_2O_3$ są zatem przystające. Ponieważ promień okręgu opisanego na trójkącie $O_1O_2O_3$ równa się promieniowi danych okręgów, więc to samo zachodzi dla trójkąta $A_1A_2A_3$ .