XVIII OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XVIII OM, 1966-1967

Etap:

Dowieść, że jeżeli punkty $A, B, C, D, E$ przestrzeni są tak położone, że

$<br /> (1) \qquad AB = BC = CD = DE = EA,<br />$

$<br /> (2) \qquad \measuredangle ABC = \measuredangle BCD = \measuredangle CDE = \measuredangle DEA = \measuredangle EAB,<br />$

to punkty $A, B, C, D, E$ znajdują się na jednej płaszczyźnie.

Rozwiązanie

Załóżmy, że punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ spełniają warunki (1) i (2). Wykażemy najpierw, że żadne dwa z tych punktów nie mogą się pokrywać. Wystarczy dowieść, że punkt $A$ nie może się pokrywać z $B$ ani z $C$ , gdyż każdy inny przypadek pokrywania się punktów sprowadza się do jednego z tych dwóch przez zmianę oznaczeń.

a) Gdyby punkt $A$ pokrywał się z punktem $B$ , wówczas wobec równości (1) pokrywałyby się wszystkie pięć punktów i nie byłby spełniony warunek (2), gdyż nie istniałyby wymienione w nim kąty.

b) Gdyby punkt $A$ pokrywał się z punktem $C$ , $\measuredangle ABC$ byłby równy $0$ , więc na mocy (2) punkty $A$ , $B$ , $D$ , $E$ leżałyby na jednej prostej $p$ . Z równości $\measuredangle BAD = 0$ i $\measuredangle EAB = 0$ wynikałoby wtedy, że punkty $B$ , $D$ , $E$ leżą na $p$ po tej samej stronie punktu $A$ , wobec czego z równości $\measuredangle DEA = 0$ wynikałoby, że punkt $D$ leży między $A$ i $E$ , a według równości $\measuredangle ADE = 0$ punkt $E$ musiałby leżeć między $A$ i $D$ . Wobec tej sprzeczności przypadek b) zdarzyć się nie może.

Z równości wszystkich boków oraz wszystkich kątów pięciokąta $ABCDE$ wynika równość wszystkich jego przekątnych. Na przykład $AC = BD$ , gdyż trójkąty $ABC$ i $BCD$ są przystające. Niech $a$ oznacza długość boków, $b$ - długość przekątnych pięciokąta, a symbol $O(r)$ powierzchnię kuli, czyli sferę o środku $O$ i promieniu $r$ .

Wybierzmy trzy niekolejne wierzchołki pięciokąta, np. $A$ , $B$ , $D$ i rozpatrzmy położenie pozostałych wierzchołków $C$ i $E$ względem $A$ , $B$ i $D$ . Punkt $C$ jest punktem wspólnym sfer $A(b)$ , $B(a)$ i $D(a)$ , a punkt $E$ - punktem wspólnym sfer $B(b)$ , $A(a)$ i $D(a)$ , które powstają z trzech poprzednich sfer, gdy je przekształcimy przez symetrię względem płaszczyzny symetralnej odcinka $AB$ . W tym przekształceniu punktowi $C$ odpowiada punkt wspólny $E'$ sfer $A(a)$ , $B(b)$ , $D(a)$ . Zachodzi więc któryś z dwóch przypadków:

a) punkt $E$ pokrywa się z punktem $E'$ , tzn. $C$ i $E$ leżą symetrycznie względem płaszczyzny symetralnej odcinka $AB$ ; przekątna $CE$ jest wtedy równoległa do prostej $AB$ i punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ leżą w jednej płaszczyźnie;

b) punkt $E$ , wspólny sferom $A(a)$ , $B(b)$ , $D(a)$ jest różny od ich punktu wspólnego $E'$ ; wtedy $E$ jest punktem symetrycznym do $E'$ względem płaszczyzny $ABD$ środków tych sfer, a więc $E$ jest punktem symetrycznym do $C$ względem symetralnej $DM$ odcinka $AB$ . Przekątna $CE$ przecina wówczas prostą $DM$ w pewnym punkcie $N$ . Przypadki a) i b) mogą oczywiście zachodzić równocześnie.

Analogiczne dwie możliwości istnieją dla każdej przekątnej pięciokąta $ABCDE$ . Jeżeli dla którychś dwóch przekątnych zachodzi przypadek a), to istnieją dwie różne czwórki wierzchołków pięciokąta, z których każda leży w jednej płaszczyźnie, zatem wszystkie wierzchołki leżą w jednej płaszczyźnie.

Jeżeli zaś choćby dla trzech przekątnych pięciokąta zachodzi przypadek b), to dwie z tych przekątnych wychodzą z jednego wierzchołka; niech to będą np. $CE$ i $CA$ ; $CE$ przecina wtedy symetralną $DM$ odcinka $AB$ w pewnym punkcie $N$ , a $CA$ przecina symetralną $BK$ odcinka $DE$ w pewnym punkcie $L$ . W takim razie punkty $D$ , $E$ , $C$ , $K$ , $M$ , $N$ , leżą w jednej płaszczyźnie; to samo stwierdzamy dla punktów $A$ , $B$ , $C$ , $K$ , $L$ , $M$ . Zatem wszystkie te punkty leżą w jednej płaszczyźnie.

Uwaga. Powyższe rozwiązanie zadania można ująć prościej, gdy się skorzysta z własności izometrii, tj. przekształceń nie zmieniających odległości punktów. Przyporządkujmy punktom $A$ , $B$ , $C$ , $D$ od powiednio punkty $B$ , $A$ , $E$ , $D$ . Wobec równości boków i równości przekątnych pięciokąta to przekształcenie pierwszej czwórki punktów na drugą jest izometrią. Można ją rozszerzyć na przekształcenie izometryczne całej przestrzeni. Otóż wiadomo, że izometrią przestrzeni, w której punktom $A$ , $B$ , $D$ odpowiadają punkty $B$ , $A$ , $D$ jest symetrią względem płaszczyzny symetralnej odcinka $AB$ , lub symetrią względem symetralnej $MD$ tego odcinka. Zatem $E$ jest punktem symetrycznym do punktu $C$ względem tej płaszczyzny lub względem prostej $MD$ . Dalszy ciąg dowodu pozostaje bez zmian.