XVIII OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XVIII OM, 1966-1967

Etap:

Dany jest ciąg liczb $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ( $n \geq 3$ ), w którym $a_1 = a_n = 0$ oraz $a_{k-1}+a_{k+1} \geq 2a_{k+1}$ dla $k = 2, 3, \ldots, (n - 1)$ . Dowieść, że w tym ciągu nie ma wyrazów dodatnich.

Rozwiązanie

W zbiorze skończonym liczb $a_1, a_2, \ldots, a_n$ istnieje co najmniej jedna liczba nie mniejsza od żadnej z tych liczb. Przypuśćmy, że taką liczbą jest $a_r$ , tzn. że $a_i \leq a_r$ dla $i = 1, 2, \ldots, n$ . Niech $s$ będzie najmniejszym wskaźnikiem o tej własności, że $a_s = a_r$ . Dowiedziemy, że $s=1$ . Istotnie, gdyby było $s > 1$ , to zachodziłyby nierówności

$ a_{s-1} < a_s, \textrm{ według definicji wskaźnika } s, $

$ a_{s+1} \leq a_s, \textrm{ ponieważ } a_s = a_r. $

Dodając te nierówności otrzymujemy

$ a_{s-1} + a_{s+1} < 2a_s, $

co przeczy założeniu twierdzenia.

Jeśli zaś $s = 1$ , znaczy to, że $a_r = a_1 = 0$ , zatem $a_i \leq 0$ dla $i = 1, 2, \ldots, n$ .

Uwaga. W powyższym dowodzie powołaliśmy się na twierdzenie, że w każdym skończonym zbiorze liczb $a_1, a_2, \ldots, a_n$ istnieje taka liczba $a_r$ , że $a_i \leq a_r$ dla $i = 1, 2, \ldots, n$ .

Twierdzenie to, zwane zasadą maksimum, jest łatwym wnioskiem z zasady indukcji. Odwrotnie, zasada indukcji wynika z zasady maksimum. Przeprowadzenie dowodu tej równoważności proponujemy jako ćwiczenie.