XVIII OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XVIII OM, 1966-1967

Etap:

Dwa okręgi są styczne wewnętrznie w punkcie $A$ . Poprowadzono cięciwę $BC$ większego okręgu styczną do mniejszego w punkcie $D$ . Dowieść, że $AD$ jest dwusieczną kąta $BAC$ .

Rozwiązanie

Punkt styczności $A$ danych okręgów jest ich środkiem jednokładności. W tej jednokładności stycznej $BC$ mniejszego okręgu odpowiada styczna do większego okręgu w punkcie $E$ odpowiadającym punktowi $D$ (rys. 6). Jako proste jednokładne, styczne te są równoległe. W takim razie łuki $BE$ i $EC$ większego okręgu, wyznaczone przez styczną w punkcie $E$ i równoległą do niej cięciwę $BC$ , są równe. Stąd wynika, że kąty wpisane $BAE$ i $EAC$ są równe, tzn. $AE$ jest dwusieczną kąta $BAC$ .