Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XVIII OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XVIII OM, 1966-1967

Etap:

II

Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie

$<br /> (1) \qquad xy+yz+zx = xyz + 2.<br />$

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że trójka $(x, y, z)$ liczb naturalnych spełnia równanie (1) . Po podzieleniu obu stron równości (1) przez $xyz$ otrzymujemy

$<br /> (2) \qquad \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1 + \frac{2}{xyz}.<br />$

Któraś z liczb $x$ , $y$ , $z$ jest mniejsza od $3$ ; gdy bowiem $x \geq 3$ , $y \geq 3$ , $z \geq 3$ , wtedy lewa strona równości (2) jest $\leq 1$ , a prawa strona jest $> 1$ .

Gdy $x < 3$ , zachodzi jeden z przypadków:

a) $x = 1$ ; z równości (1) wynika wtedy, że

$<br /> y+z = 2, \textrm{ skąd } y = 1, z = 1.<br />$

b) $x = 2$ ; z równości (1) otrzymujemy $2y + yz + 2z = 2 yz +2$ , skąd

$<br /> yz - 2y - 2z = - 2, \textrm{ więc }<br />$

$<br /> (y-2)(z-2) = 2.<br />$

Zatem $y-2 = 1$ , $z-2 = 2$ lub $y-2 = 2$ , $z-2 = 1$ , tzn. $y = 3$ , $z = 4$ lub $y = 4$ , $z = 3$ .

Analogiczne rozwiązania otrzymujemy zakładając, że $y = 2$ lub że $z = 2$ .

Równanie (1) ma zatem $7$ rozwiązań w liczbach naturalnych:

$<br /> (1, 1, 1),\ (2, 3, 4),\ (2, 4, 3),\ (3, 2, 4),\ (4, 2, 3),\ (3, 4, 2),\ (4, 3, 2).<br />$

Uwaga : Ponieważ

$<br /> (x-1)(y-1)(z-1) = xyz - (xy + yz + zx) + (x+y+z)-1,<br />$

więc równanie (1) jest równoważne równaniu

$<br /> \nr{1a} (x-1)(y-1)(z-1) = x+y+z-3,<br />$

które po podstawieniu $x-1 = X$ , $y -1=Y$ , $z-1=Z$ przybiera postać

$<br /> \nr{Ib} XYZ = X + Y + Z.<br />$

Rozwiązanie równania (1b) w liczbach naturalnych było tematem Nr 9 w XVII Olimpiadzie Matematycznej.

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/1321